Probabilités : une épreuve

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1
Une cible carrée de 40 cm de côté porte en son centre un disque de rayon 10 cm. Une fléchette lancée au hasard atteint toujours la cible, et la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à son aire.
Quelle est la probabilité qu'elle tombe en dehors du disque ?
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a) Aire du carré : $40 \times 40 = 1600\,\text{cm}^{2}$ .
Aire du disque : $\pi \times r^{2} = \pi \times 10^{2} = 100\pi \text{cm}^{2} \approx 314\,\text{cm}^{2}$ (arrondi à l'unité).
b) La probabilité est le rapport de l'aire favorable à l'aire totale :
$P(\text{disque}) = \frac{100\pi }{1600} = \frac{\pi }{16} \approx 0{,}196$ , soit environ 0,20.
c) « Tomber en dehors du disque » est l'événement contraire :
$P(\text{hors du disque}) = 1 - \frac{\pi }{16} \approx 1 - 0{,}196 = 0{,}804$ , soit environ 0,80.
Vérifions : on peut aussi calculer directement l'aire hors du disque, $1600 - 314 = 1286\,\text{cm}^{2}$ , puis $\frac{1286}{1600} \approx 0{,}804$ .
Interprétation : la fléchette tombe dans le disque environ une fois sur cinq.
2
Un dé est truqué (pipé). La face 6 a une probabilité de sortir égale à 0,3. Les cinq autres faces (1, 2, 3, 4 et 5) ont toutes la même probabilité entre elles.
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair.
Je suis les branches !
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La somme des probabilités de toutes les faces vaut toujours 1.
a) La face 6 vaut 0,3 ; il reste donc $1 - 0{,}3 = 0{,}7$ à partager également entre les 5 autres faces :
$P(\text{face} 1) = 0{,}7 \div 5 = 0{,}14$ . (De même, chacune des faces 1, 2, 3, 4, 5 vaut 0,14.)
b) Les nombres pairs sont 2, 4 et 6. On additionne leurs probabilités (issues distinctes) :
$P(\text{pair}) = P(2) + P(4) + P(6) = 0{,}14 + 0{,}14 + 0{,}3 = 0{,}58$ .
c) « Impair » est le contraire de « pair » :
$P(\text{impair}) = 1 - 0{,}58 = 0{,}42$ .
Contrôle : les impairs sont 1, 3, 5, chacun à 0,14 : $3 \times 0{,}14 = 0{,}42$ .
3
Une urne contient uniquement des boules rouges, vertes et bleues, 60 boules en tout. La probabilité de tirer une rouge est le double de celle de tirer une verte, et la probabilité de tirer une bleue vaut $\frac{1}{2}$ .
Donne la composition complète de l'urne.
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4
On choisit au hasard un nombre entier à deux chiffres, c'est-à-dire compris entre 10 et 99, chaque nombre ayant la même probabilité.
Quelle est la probabilité que la somme des deux chiffres soit égale à 5 ?
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5
Un sac contient des boules rouges et des boules noires. La probabilité de tirer une boule rouge est $\frac{3}{5}$ . On ajoute alors 4 boules rouges dans le sac, et la probabilité de tirer une rouge devient $\frac{2}{3}$ .
Combien y avait-il de boules en tout, et de boules rouges, au départ ? Vérifie.
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6
On tire au hasard un nombre entier compris entre 1 et 100 (chacun a la même probabilité).
a) Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 4 ?
b) Quelle est la probabilité qu'il soit un multiple de 6 ?
c) Quelle est la probabilité qu'il soit à la fois multiple de 4 ET de 6 ?
d) En déduire la probabilité qu'il soit multiple de 4 OU de 6.
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7
Deux urnes sont proposées à un joueur, qui gagne s'il tire une boule rouge en un seul tirage.
— Urne A : 7 boules rouges et 5 boules noires.
— Urne B : 9 boules rouges et 7 boules noires.
On ajoute une boule rouge dans l'urne qui était la moins avantageuse. Cela change-t-il le choix ?
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8
On choisit au hasard un jour de l'année 2027 (année non bissextile, donc 365 jours), chaque jour ayant la même probabilité.
Quelle est la probabilité que ce jour NE soit PAS en été, sachant que juin, juillet et août comptent respectivement 30, 31 et 31 jours ?
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9
Une roue est partagée en 4 secteurs de couleurs, mais les secteurs n'ont pas la même taille. Le secteur bleu est deux fois plus grand que le rouge, le vert est trois fois plus grand que le rouge, et le jaune a la même taille que le rouge. La probabilité de tomber sur une couleur est proportionnelle à la taille de son secteur.
Donne la probabilité de chaque couleur, puis la probabilité de ne pas tomber sur le vert.
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10
Un professeur relève les notes de ses 25 élèves à un contrôle :
5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 18 ; 20.
On choisit une copie au hasard.
Quelle est la probabilité que la note soit comprise entre 10 et 15 inclus ?
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