La symétrie axiale

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1
On veut construire, à la règle et au compas seulement (sans équerre), le symétrique M' d'un point M par rapport à une droite (d).
Si on double l'écartement du compas, obtient-on toujours le bon point M' ? Justifie.
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a) On choisit deux points distincts P et Q sur l'axe (d). On trace le cercle de centre P passant par M, puis le cercle de centre Q passant par M. Ces deux cercles se coupent en deux points : l'un est M, l'autre est M'. Ce point M' est le symétrique cherché.
b) P est à égale distance de M et de M' (ces deux points sont sur le cercle de centre P) : $PM = PM'$ . De même $QM = QM'$ . Les points P et Q sont donc chacun à égale distance de M et de M' : ils appartiennent à la médiatrice de [MM']. Deux points définissent une seule droite, donc la droite (PQ), c'est-à-dire l'axe (d), est la médiatrice de [MM']. Ainsi M' est bien le symétrique de M par rapport à (d).
c) Le cercle de centre P doit passer par M, donc son rayon doit être exactement PM. Si on double l'écartement, le cercle ne passe plus par M et l'intersection obtenue n'est plus le symétrique. Non : il faut garder l'écartement PM (et QM pour l'autre cercle).
2
On considère les lettres majuscules du mot BOITE (écrites en capitales : B, O, I, T, E).
Trouve un mot d'au moins trois lettres (en capitales) qui, écrit horizontalement, possède un axe de symétrie horizontal.
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a) B : axe horizontal seulement (les moitiés haut et bas se superposent). O : axe horizontal et axe vertical (et bien d'autres). I : axe horizontal et axe vertical. T : axe vertical seulement. E : axe horizontal seulement.
b) Pour qu'un mot écrit horizontalement ait un axe horizontal, il faut que chacune de ses lettres ait un axe de symétrie horizontal. Or T n'a pas d'axe horizontal (elle n'a qu'un axe vertical). Donc le mot BOITE n'a pas d'axe de symétrie horizontal.
c) Exemple : le mot BEC. Les lettres B, E et C ont chacune un axe de symétrie horizontal, donc le mot BEC écrit horizontalement a un axe de symétrie horizontal. D'autres réponses conviennent, par exemple CODE (C, O, D, E ont toutes un axe horizontal).
3
Une figure « maison » est formée d'un carré de côté 4 cm surmonté, sur son côté supérieur, d'un triangle isocèle de base 4 cm (le côté du carré) et de hauteur 3 cm. On construit le symétrique de toute la figure par rapport à une droite (d) extérieure à la figure.
a) Calcule l'aire de la figure de départ.
b) Quelle est l'aire de la figure image ? Justifie sans refaire le calcul.
c) La figure « maison » possède-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, décris-le.
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4
M' est le symétrique de M par rapport à une droite (d), et N' est le symétrique de N par rapport à la même droite (d). On donne $MN = 5\,\text{cm}$ .
Quelle est la nature du quadrilatère MNN'M' ? Justifie (on pourra remarquer que [MM'] et [NN'] sont tous deux perpendiculaires à l'axe).
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5
Sur un quadrillage, un triangle a pour sommets $A(3 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, 6)$ et $C(6 \,;\, 2)$ , donnés en (colonne ; ligne).
En réunissant le triangle de départ et son image, on obtient une figure d'un seul tenant. Quelle est sa nature ? Justifie.
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6
Deux droites (d1) et (d2) sont parallèles. Sur un quadrillage, (d1) est la droite verticale de la colonne 3 et (d2) la droite verticale de la colonne 7. On place le point M à la colonne 1 et à la ligne 4.
De combien de carreaux, et dans quel sens, le point M a-t-il « glissé » pour arriver en M2 ? Quel lien vois-tu avec l'écart entre les deux axes ?
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7
Sur un quadrillage, on place $A(2 \,;\, 2)$ et son symétrique A'(2 ; 8) par rapport à une droite (d) inconnue (points donnés en colonne ; ligne).
Le point $C(4 \,;\, 5)$ est-il son propre symétrique par rapport à (d) ? Justifie.
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8
Sur un quadrillage, on donne les sommets d'un quadrilatère en (colonne ; ligne) : $R(2 \,;\, 1)$ , $S(6 \,;\, 1)$ , $T(6 \,;\, 3)$ , $U(2 \,;\, 3)$ .
Que remarque-t-on pour le côté [UT] et son image [U'T'] ? Explique pourquoi.
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9
ABC est un triangle. On note A', B', C' les symétriques de A, B, C par rapport à une droite (d). On sait que $AB = 6\,\text{cm}$ , $BC = 8\,\text{cm}$ , $AC = 5\,\text{cm}$ , et que l'angle en B mesure $60^{\circ}$ .
Quel est le périmètre du triangle A'B'C' ?
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10
Sur un quadrillage, on place le point $A(1 \,;\, 2)$ en (colonne ; ligne). On note (d1) la droite verticale passant par la colonne 5, et (d2) la droite horizontale passant par la ligne 4.
On appelle I le point situé à la colonne 5 et à la ligne 4. Que représente I pour le segment [AA2] ? Justifie par un calcul de distances.
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