Nombres complexes : forme exponentielle et applications

Calcule $\left(\sqrt{3} + i\right)^{5}$ en passant par la forme exponentielle, et donne le résultat sous forme algébrique.

Calcule l'intégrale $\int_{0}^{\pi/4} \cos^{2} x\,\mathrm{d}x$ : donne la valeur exacte, puis l'arrondi au centième.

Écris le signal $\sqrt{3}\cos(2t) - \sin(2t)$ sous la forme $A\cos(2t + \varphi)$, avec $A > 0$.

Écris le signal $6\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{3}\right)$ sous la forme $a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t)$.

Résous dans ℂ l'équation $(1 + 2i)z - i = 3 + z$. Donne la solution sous forme algébrique.

Détermine, sous forme algébrique, l'affixe de l'image du point B d'affixe $\sqrt{3} + i$ par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{3}$.

En écrivant $3a = 2a + a$, démontre que pour tout réel a, $\cos(3a) = 4\cos^{3} a - 3\cos a$.

Calcule l'intégrale $\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2x)\,\mathrm{d}x$.

Deux tensions de même pulsation, $u_{1}(t) = 2\cos(\omega t)$ et $u_{2}(t) = 2\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$, sont additionnées. En leur associant les complexes $U_{1} = 2$ et $U_{2} = 2e^{i\pi/3}$, écris $u_{1} + u_{2}$ sous la forme $A\cos(\omega t + \varphi)$.

Résous dans ℂ l'équation $z^{2} = -12$, puis écris chaque solution sous forme exponentielle.