Nombres complexes : forme exponentielle et applications

Dans un circuit en régime sinusoïdal, l'intensité vaut $i(t) = 3\cos(100\pi t) - 3\sqrt{3}\sin(100\pi t)$, t en secondes, i en ampères.
a) Écris $i(t)$ sous la forme $A\cos(100\pi t + \varphi)$ avec $A > 0$.
b) Donne l'amplitude et la phase à l'origine de ce courant.
c) Calcule la valeur efficace $\frac{A}{\sqrt{2}}$, arrondie au centième.
d) Détermine le premier instant $t > 0$ où l'intensité est maximale : valeur exacte, puis arrondi au millième de seconde.

On veut exprimer $\sin(3a)$ à l'aide de $\sin a$.
a) Rappelle les formules de duplication de $\sin(2a)$ et de $\cos(2a)$, cette dernière en fonction de $\sin a$.
b) En écrivant $3a = 2a + a$, développe $\sin(3a)$ avec une formule d'addition.
c) Montre que $\sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^{3} a$.
d) Vérifie la formule obtenue pour $a = \frac{\pi}{6}$.

Une résistance $R = 50$ Ω est traversée par le courant $i(t) = 4\sin(100\pi t)$, t en secondes. Elle reçoit la puissance $p(t) = R\,i(t)^{2}$, en watts, et l'énergie reçue entre deux instants est l'intégrale de p entre ces instants.
a) Écris $\sin^{2}(100\pi t)$ sans carré, à l'aide d'un cosinus (linéarisation).
b) Montre que $p(t) = 400 - 400\cos(200\pi t)$.
c) Donne une primitive de p.
d) Calcule l'énergie reçue par la résistance entre $t = 0$ et $t = 0{,}01$ s, en joules.

Dans le plan complexe, A a pour affixe 2. On note B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi}{3}$, et C l'image de B par cette même rotation.
a) Détermine l'affixe de B sous forme exponentielle, puis algébrique.
b) Détermine l'affixe de C sous forme algébrique.
c) Calcule $z_{A} + z_{B} + z_{C}$.
d) Calcule la distance AB : valeur exacte, puis arrondi au centième.

On considère l'équation $z^{2} = -9$ dans ℂ. On note $z_{1}$ sa solution de partie imaginaire positive et $M_{1}$ le point d'affixe $z_{1}$.
a) Résous l'équation.
b) Écris ses deux solutions sous forme exponentielle.
c) Détermine, sous forme algébrique, l'affixe de l'image $M_{2}$ de $M_{1}$ par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{6}$.
d) Détermine l'affixe de l'image de $M_{2}$ par l'homothétie de centre O et de rapport $-2$.

Deux générateurs en série délivrent $u_{1}(t) = 4\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ et $u_{2}(t) = 4\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{6}\right)$, en volts. On leur associe les complexes $U_{1} = 4e^{i\pi/6}$ et $U_{2} = 4e^{-i\pi/6}$.
a) Écris $U_{1}$ et $U_{2}$ sous forme algébrique.
b) Calcule $U_{1} + U_{2}$.
c) Écris la tension totale $u_{1} + u_{2}$ sous la forme $A\cos(\omega t + \varphi)$.
d) Donne l'amplitude de la tension totale $u_{1} + u_{2}$, arrondie au centième de volt.

Soit M le point d'affixe z, solution de l'équation $(1 - i)z = 2 + 4i$, et M′ l'image de M par la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{2}$.
a) Détermine z sous forme algébrique.
b) Calcule la distance OM.
c) Détermine l'affixe de M′.
d) Montre que le triangle OMM′ est rectangle isocèle en O.

On veut calculer $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4} x\,\mathrm{d}x$.
a) Rappelle la linéarisation de $\cos^{2} a$.
b) Montre que $\cos^{4} x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$.
c) Donne une primitive de $x \mapsto \cos^{4} x$.
d) Calcule $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4} x\,\mathrm{d}x$ : valeur exacte, puis arrondi au millième.

On étudie les puissances du nombre complexe $w = \sqrt{3} - i$.
a) Écris w sous forme exponentielle.
b) Exprime $w^{n}$ sous forme exponentielle pour tout entier naturel n.
c) Calcule $w^{3}$ sous forme algébrique.
d) Détermine le plus petit entier $n \ge 1$ tel que $\left(\sqrt{3} - i\right)^{n}$ soit un réel strictement positif, et donne ce réel.

On considère le signal $u(t) = -\cos t + \sin t$, t réel.
a) Écris $u(t)$ sous la forme $A\cos(t + \varphi)$, avec $A > 0$.
b) Donne la valeur maximale de u et le premier instant $t \ge 0$ où elle est atteinte.
c) Résous l'équation $u(t) = 0$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 2\pi]$.