Les marches aléatoires

Marche symétrique partant de 0, de 5 pas.
a) Quelles sont les positions possibles à la fin ?
b) Calcule la probabilité de finir en position 1.

Un pion va à droite avec une probabilité de 0,8 et fait 4 pas.
a) Calcule la probabilité de finir en position 4.
b) Calcule la probabilité de finir en position 2.

Une action vaut 50 €. Chaque jour, son cours monte ou baisse de 1 € avec la même probabilité, indépendamment des autres jours.
a) Quelles valeurs le cours peut-il prendre au bout de 6 jours ?
b) Calcule la probabilité que le cours vaille 52 € au bout de 6 jours, arrondie au millième.

Un pion se déplace sur les cases 0, 1, 2, 3. Il avance d'une case avec une probabilité de 0,6 et recule sinon. Le jeu s'arrête en 0 (perdu) ou en 3 (gagné). On note $g_{1}$ et $g_{2}$ les probabilités de gagner en partant des cases 1 et 2.
a) Justifie que $g_{1} = 0{,}6 \, g_{2}$ et que $g_{2} = 0{,}6 + 0{,}4 \, g_{1}$.
b) Calcule $g_{1}$ et $g_{2}$, arrondis au millième.

Marche symétrique partant de 0, de 10 pas. On donne $\binom{10}{8} = 45$.
a) Combien de pas à droite faut-il pour finir en position 6 ?
b) Calcule la probabilité de finir en position 6, arrondie au millième.

Un pion va à droite avec une probabilité de 0,3.
a) Calcule sa position moyenne après 50 pas.
b) Combien de pas doit-il faire pour que sa position moyenne soit $-30$ ?

On dispose d'une fonction marche(n, p) qui simule une marche de n pas et renvoie la position finale.
a) Écris une fonction frequence_positive(N) qui simule N marches symétriques de 5 pas et renvoie la fréquence des marches qui finissent en position strictement positive.
b) Vers quelle valeur cette fréquence doit-elle se rapprocher ? Justifie.

Deux pions partent tous deux de 0 et font chacun, indépendamment, une marche symétrique de 2 pas.
a) Calcule la probabilité qu'un pion donné soit revenu en 0.
b) Calcule la probabilité que les deux pions soient revenus en 0.

Dans un jeu équitable où l'on mise 1 € par partie, la probabilité d'atteindre N € en partant de k € vaut $\frac{k}{N}$.
a) Un joueur a 6 € et vise 10 €. Calcule sa probabilité d'atteindre son objectif et sa probabilité de ruine.
b) Il vise maintenant 20 € avec toujours 6 €. Calcule sa probabilité d'atteindre ce nouvel objectif.

Marche symétrique partant de 0, de 6 pas. On donne la ligne 6 du triangle de Pascal : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1.
a) Quelles positions sont à une distance au plus 2 de l'origine ?
b) Calcule la probabilité que la position finale soit à une distance au plus 2 de l'origine, arrondie au millième.