Les marches aléatoires

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1
Un pion part de 0 et va à droite avec une probabilité de 0,6 à chaque pas. Il fait 6 pas. On donne la ligne 6 du triangle de Pascal : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1.
a) Quelle loi suit le nombre D de pas à droite ?
b) Calcule la probabilité de finir en position 2, arrondie au millième.
c) Calcule la probabilité de finir à une position supérieure ou égale à 4, arrondie au millième.
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a) Les 6 pas sont des épreuves indépendantes de même probabilité de succès 0,6 : D suit $\mathcal{B}(6 \,;\, 0{,}6)$ .
b) Position 2 : $2D - 6 = 2$ , donc $D = 4$ . $P = 15 \times 0{,}6^{4} \times 0{,}4^{2} = 15 \times 0{,}1296 \times 0{,}16 = 0{,}31104 \approx 0{,}311$ .
c) Position $\ge 4$ signifie $D = 5$ ou $D = 6$ .
$P(D = 5) = 6 \times 0{,}6^{5} \times 0{,}4 = 0{,}186624$ et $P(D = 6) = 0{,}6^{6} = 0{,}046656$ .
$P = 0{,}23328 \approx 0{,}233$ .
2
Un pion se déplace sur les cases 0, 1, 2, 3, 4 et part de la case 2. À chaque tour, il avance d'une case avec une probabilité de 0,6 et recule sinon. Le jeu s'arrête en 0 (perdu) ou en 4 (gagné). On note $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g_{3}$ les probabilités de gagner en partant des cases 1, 2, 3.
a) Écris une relation donnant chacun des nombres $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g_{3}$ .
b) Exprime $g_{1}$ et $g_{3}$ en fonction de $g_{2}$ .
c) Quelle est la probabilité de gagner en partant de la case 2 ? Arrondis au millième.
Je saute de nombre en nombre !
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a) Depuis 1 : $g_{1} = 0{,}6 \, g_{2}$ (reculer mène en 0, perdu). Depuis 2 : $g_{2} = 0{,}6 \, g_{3} + 0{,}4 \, g_{1}$ . Depuis 3 : $g_{3} = 0{,}6 + 0{,}4 \, g_{2}$ (avancer mène en 4, gagné).
b) $g_{1} = 0{,}6 \, g_{2}$ et $g_{3} = 0{,}6 + 0{,}4 \, g_{2}$ .
c) On remplace dans la relation de $g_{2}$  : $g_{2} = 0{,}6 \times (0{,}6 + 0{,}4 \, g_{2}) + 0{,}4 \times 0{,}6 \, g_{2} = 0{,}36 + 0{,}48 \, g_{2}$ .
$0{,}52 \, g_{2} = 0{,}36$ , donc $g_{2} = \frac{9}{13}$ .
$g_{2} \approx 0{,}692$  : bien plus que 0,5, le jeu étant favorable au pion.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On étudie une marche symétrique de 4 pas partant de 0, et l'événement « la marche ne passe jamais par une position strictement négative ».
a) Combien de chemins de 4 pas existe-t-il au total ?
b) Écris tous les chemins qui réalisent cet événement.
c) Quelle est la probabilité qu'une marche symétrique de 4 pas ne passe jamais par une position strictement négative ?
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4
Au microscope, on suit 200 grains de pollen qui partent tous du même point. Chaque grain effectue, indépendamment des autres, une marche symétrique de 8 pas sur une droite. On donne la ligne 8 du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1.
a) Calcule la probabilité qu'un grain soit revenu à son point de départ, arrondie au millième.
b) Combien de grains, en moyenne, sont revenus à leur point de départ ?
c) Calcule la probabilité qu'un grain soit à une distance au moins 4 de son point de départ, arrondie au millième.
d) Combien de grains, en moyenne, se trouvent à une distance au moins 4 de leur point de départ ? Arrondis à l'unité.
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5
Une action vaut 100 €. Chaque jour, son cours monte de 2 € avec une probabilité de 0,55 ou baisse de 2 € sinon, indépendamment des autres jours. On observe le cours pendant 20 jours et on note D le nombre de jours de hausse.
a) Quelle loi suit D ?
b) Exprime le cours au bout de 20 jours en fonction de D.
c) Quel est le cours moyen de l'action au bout de 20 jours ?
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6
Un joueur mise 1 € par partie dans un jeu équitable et s'arrête ruiné ou dès qu'il possède 10 €. Des simulations de 10 000 parties donnent les fréquences de réussite suivantes : 0,198 en partant de 2 €, 0,503 en partant de 5 € et 0,697 en partant de 7 €.
a) Quelle formule, en fonction de la somme de départ k, ces résultats suggèrent-ils pour la probabilité d'atteindre 10 € ?
b) Explique par un argument de symétrie la valeur obtenue pour un départ de 5 €.
c) Quelle est la probabilité d'être ruiné pour un joueur qui part avec 3 € ?
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7
Marche symétrique partant de 0, de 9 pas. On donne la ligne 9 du triangle de Pascal : 1 ; 9 ; 36 ; 84 ; 126 ; 126 ; 84 ; 36 ; 9 ; 1.
a) La marche peut-elle finir en 0 ? Justifie.
b) Calcule la probabilité de finir en position 1, arrondie au millième.
c) Calcule la probabilité de finir à distance 1 de l'origine, arrondie au millième.
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8
Un pion A part de la position 0 et un pion B de la position 2. À chaque tour, chacun fait un pas de $+1$ ou $-1$ avec la même probabilité, indépendamment de l'autre.
a) Quelles positions chaque pion peut-il occuper après 2 pas ?
b) Calcule la probabilité que les deux pions occupent la même position après 1 pas.
c) Quelle est la probabilité que les deux pions occupent la même position après 2 pas ?
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9
Un pion part de 0 et va à droite avec une probabilité p à chaque pas. Il fait 6 pas. On donne $\binom{6}{3} = 20$ .
a) Exprime en fonction de p la probabilité d'être revenu en 0 après 6 pas.
b) Calcule cette probabilité pour $p = 0{,}7$ .
c) Parmi les valeurs 0,5 ; 0,6 ; 0,7 et 0,8, pour laquelle la probabilité d'être revenu en 0 après 6 pas est-elle la plus grande ?
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10
Un pion part de 0 et fait une marche symétrique entre deux barrières placées en $-2$ et en 2 : dès qu'il atteint l'une d'elles, il sort et la marche s'arrête.
a) Calcule la probabilité qu'il sorte exactement au 2ᵉ pas.
b) Calcule la probabilité qu'il soit encore entre les barrières après 4 pas.
c) Quelle est la probabilité que le pion soit encore entre les barrières après 10 pas ?
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