Les marches aléatoires

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1
Un pion part de 0 et va à droite avec une probabilité de 0,6 à chaque pas. Il fait 6 pas. On donne la ligne 6 du triangle de Pascal : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1.
Calcule la probabilité de finir à une position supérieure ou égale à 4, arrondie au millième.
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a) Les 6 pas sont des épreuves indépendantes de même probabilité de succès 0,6 : D suit $\mathcal{B}(6 \,;\, 0{,}6)$ .
b) Position 2 : $2D - 6 = 2$ , donc $D = 4$ . $P = 15 \times 0{,}6^{4} \times 0{,}4^{2} = 15 \times 0{,}1296 \times 0{,}16 = 0{,}31104 \approx 0{,}311$ .
c) Position $\ge 4$ signifie $D = 5$ ou $D = 6$ .
$P(D = 5) = 6 \times 0{,}6^{5} \times 0{,}4 = 0{,}186624$ et $P(D = 6) = 0{,}6^{6} = 0{,}046656$ .
$P = 0{,}23328 \approx 0{,}233$ .
2
Un pion se déplace sur les cases 0, 1, 2, 3, 4 et part de la case 2. À chaque tour, il avance d'une case avec une probabilité de 0,6 et recule sinon. Le jeu s'arrête en 0 (perdu) ou en 4 (gagné). On note $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g_{3}$ les probabilités de gagner en partant des cases 1, 2, 3.
Quelle est la probabilité de gagner en partant de la case 2 ? Arrondis au millième.
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a) Depuis 1 : $g_{1} = 0{,}6 \, g_{2}$ (reculer mène en 0, perdu). Depuis 2 : $g_{2} = 0{,}6 \, g_{3} + 0{,}4 \, g_{1}$ . Depuis 3 : $g_{3} = 0{,}6 + 0{,}4 \, g_{2}$ (avancer mène en 4, gagné).
b) $g_{1} = 0{,}6 \, g_{2}$ et $g_{3} = 0{,}6 + 0{,}4 \, g_{2}$ .
c) On remplace dans la relation de $g_{2}$ : $g_{2} = 0{,}6 \times (0{,}6 + 0{,}4 \, g_{2}) + 0{,}4 \times 0{,}6 \, g_{2} = 0{,}36 + 0{,}48 \, g_{2}$ .
$0{,}52 \, g_{2} = 0{,}36$ , donc $g_{2} = \frac{9}{13}$ .
$g_{2} \approx 0{,}692$ : bien plus que 0,5, le jeu étant favorable au pion.
3
On étudie une marche symétrique de 4 pas partant de 0, et l'événement « la marche ne passe jamais par une position strictement négative ».
Quelle est la probabilité qu'une marche symétrique de 4 pas ne passe jamais par une position strictement négative ?
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4
Au microscope, on suit 200 grains de pollen qui partent tous du même point. Chaque grain effectue, indépendamment des autres, une marche symétrique de 8 pas sur une droite. On donne la ligne 8 du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1.
Combien de grains, en moyenne, se trouvent à une distance au moins 4 de leur point de départ ? Arrondis à l'unité.
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5
Une action vaut 100 €. Chaque jour, son cours monte de 2 € avec une probabilité de 0,55 ou baisse de 2 € sinon, indépendamment des autres jours. On observe le cours pendant 20 jours et on note D le nombre de jours de hausse.
Quel est le cours moyen de l'action au bout de 20 jours ?
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6
Un joueur mise 1 € par partie dans un jeu équitable et s'arrête ruiné ou dès qu'il possède 10 €. Des simulations de 10 000 parties donnent les fréquences de réussite suivantes : 0,198 en partant de 2 €, 0,503 en partant de 5 € et 0,697 en partant de 7 €.
Quelle est la probabilité d'être ruiné pour un joueur qui part avec 3 € ?
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7
Marche symétrique partant de 0, de 9 pas. On donne la ligne 9 du triangle de Pascal : 1 ; 9 ; 36 ; 84 ; 126 ; 126 ; 84 ; 36 ; 9 ; 1.
Calcule la probabilité de finir à distance 1 de l'origine, arrondie au millième.
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8
Un pion A part de la position 0 et un pion B de la position 2. À chaque tour, chacun fait un pas de $+1$ ou $-1$ avec la même probabilité, indépendamment de l'autre.
Quelle est la probabilité que les deux pions occupent la même position après 2 pas ?
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9
Un pion part de 0 et va à droite avec une probabilité p à chaque pas. Il fait 6 pas. On donne $\binom{6}{3} = 20$ .
Parmi les valeurs 0,5 ; 0,6 ; 0,7 et 0,8, pour laquelle la probabilité d'être revenu en 0 après 6 pas est-elle la plus grande ?
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10
Un pion part de 0 et fait une marche symétrique entre deux barrières placées en $-2$ et en 2 : dès qu'il atteint l'une d'elles, il sort et la marche s'arrête.
Quelle est la probabilité que le pion soit encore entre les barrières après 10 pas ?
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