Les marches aléatoires

🟡 Moyen

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1
Marche symétrique partant de 0. Donne la loi de la position après 3 pas.
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Le nombre D de pas à droite suit la loi $\mathcal{B}(3 \,;\, 0{,}5)$  ; la ligne 3 du triangle de Pascal est 1 ; 3 ; 3 ; 1 et chaque chemin a pour probabilité $\frac{1}{8}$ .
$D = 0$  : position $-3$ , probabilité $\frac{1}{8}$ .
$D = 1$  : position $-1$ , probabilité $\frac{3}{8}$ .
$D = 2$  : position 1, probabilité $\frac{3}{8}$ .
$D = 3$  : position 3, probabilité $\frac{1}{8}$ .
2
Marche symétrique partant de 0. Calcule la probabilité d'être en position 4 après 6 pas.
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Position $2D - 6 = 4$ donne $D = 5$ pas à droite.
Le nombre de chemins à 5 succès sur 6 est $\binom{6}{5} = 6$ (l'unique pas à gauche peut être placé à 6 endroits).
Chaque chemin a pour probabilité $0{,}5^{6} = \frac{1}{64}$ .
$P = \frac{6}{64} = 0{,}09375$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un pion va à droite avec une probabilité de 0,4 et fait 3 pas. Calcule la probabilité qu'il finisse en position 3, puis celle qu'il finisse en position $-3$ .
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4
Marche symétrique partant de 0. On donne la ligne 8 du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1. Calcule la probabilité d'être en position $-2$ après 8 pas.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
5
Un joueur possède 3 €. À chaque partie, il gagne ou perd 1 € avec la même probabilité, et il s'arrête dès qu'il a 0 € ou 5 €. On admet que, dans ce jeu équitable, la probabilité d'atteindre N € en partant de k € vaut $\frac{k}{N}$ . Calcule la probabilité qu'il atteigne 5 €, puis celle qu'il soit ruiné.
Je saute de nombre en nombre !
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6
On veut simuler une marche où chaque pas va à droite avec une probabilité de 0,3. Complète la ligne manquante du programme.
from random import random
def marche(n):
    position = 0
    for i in range(n):
        ...
            position = position + 1
        else:
            position = position - 1
    return position
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
7
On simule 2 000 marches symétriques de 6 pas ; 612 d'entre elles se terminent en 0. Calcule la fréquence observée, puis compare-la à la probabilité théorique $\frac{20}{64}$ .
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8
Un pion va à droite avec une probabilité de 0,55 et fait 60 pas. Calcule sa position moyenne.
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9
Marche symétrique partant de 0. Calcule la probabilité que la position soit supérieure ou égale à 2 après 4 pas.
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10
Un pion va à droite avec une probabilité de 0,3 et fait 20 pas. Calcule le nombre moyen de pas à droite, puis la position moyenne.
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