Les marches aléatoires

Marche symétrique partant de 0. Donne la loi de la position après 3 pas.

Marche symétrique partant de 0. Calcule la probabilité d'être en position 4 après 6 pas.

Un pion va à droite avec une probabilité de 0,4 et fait 3 pas. Calcule la probabilité qu'il finisse en position 3, puis celle qu'il finisse en position $-3$.

Marche symétrique partant de 0. On donne la ligne 8 du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1. Calcule la probabilité d'être en position $-2$ après 8 pas.

Un joueur possède 3 €. À chaque partie, il gagne ou perd 1 € avec la même probabilité, et il s'arrête dès qu'il a 0 € ou 5 €. On admet que, dans ce jeu équitable, la probabilité d'atteindre N € en partant de k € vaut $\frac{k}{N}$. Calcule la probabilité qu'il atteigne 5 €, puis celle qu'il soit ruiné.

On veut simuler une marche où chaque pas va à droite avec une probabilité de 0,3. Complète la ligne manquante du programme.
from random import random
def marche(n):
position = 0
for i in range(n):
...
position = position + 1
else:
position = position - 1
return position

On simule 2 000 marches symétriques de 6 pas ; 612 d'entre elles se terminent en 0. Calcule la fréquence observée, puis compare-la à la probabilité théorique $\frac{20}{64}$.

Un pion va à droite avec une probabilité de 0,55 et fait 60 pas. Calcule sa position moyenne.

Marche symétrique partant de 0. Calcule la probabilité que la position soit supérieure ou égale à 2 après 4 pas.

Un pion va à droite avec une probabilité de 0,3 et fait 20 pas. Calcule le nombre moyen de pas à droite, puis la position moyenne.