Agrandissement : effet sur aires et volumes

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1
Deux solides semblables ont des volumes de 54 cm³ et 2 cm³. Détermine le rapport de leurs aires totales.
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Le rapport des volumes vaut $\frac{54}{2} = 27$ , donc $k^3 = 27$ et $k = 3$ .
Le rapport des aires vaut $k^2 = 9$ .
Le grand solide a une surface neuf fois plus grande, pour un volume vingt-sept fois plus grand : il est proportionnellement moins enveloppé.
2
Un cube de 1 cm d'arête est agrandi avec un coefficient $k$ . Détermine $k$ pour que le volume du nouveau cube soit égal à son aire totale, exprimée dans les mêmes unités numériques.
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Le nouveau cube a pour arête $k$ , donc un volume de $k^3$ et une aire totale de $6k^2$ .
On résout $k^3 = 6k^2$ , soit $k^2(k - 6) = 0$ , donc $k = 6$ puisque $k$ est non nul.
Avec une arête de 6 cm : volume 216 cm³ et aire totale $6 \times 36 = 216$ cm². L'égalité est numérique seulement, les unités restant différentes.
3
Un cône de hauteur 12 cm est partagé en trois parties de volumes égaux par deux plans parallèles à la base. Détermine la hauteur du petit cône supérieur, au dixième près.
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4
Une ville est représentée sur deux cartes, au $\frac{1}{25\,000}$ et au $\frac{1}{100\,000}$ . Détermine le rapport des surfaces qu'elle occupe sur les deux cartes.
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5
Deux récipients semblables sont remplis d'eau. Le petit, haut de 12 cm, contient 0,45 L. Le grand contient 3,6 L. Calcule la hauteur du grand.
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6
Une pizza de 26 cm de diamètre coûte 9 € et une de 34 cm coûte 15 €. Détermine laquelle revient le moins cher au centimètre carré, en passant par le coefficient d'agrandissement.
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7
Un solide est réduit avec un coefficient $k$ , et son volume diminue de 48,8 %. Détermine $k$ , au centième près.
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8
Deux cubes ont des arêtes de 3 cm et 5 cm. Compare le rapport de leurs aires totales et celui de leurs volumes, puis explique pourquoi le second est plus grand.
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9
Un glaçon cubique de 2 cm d'arête fond en 10 minutes. En supposant que la vitesse de fonte est proportionnelle à la surface, estime le temps de fonte d'un glaçon de 4 cm d'arête.
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10
Démontre que si deux figures sont semblables de rapport $k$ , alors le rapport de leurs aires vaut $k^2$ , quelle que soit leur forme.
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