Angles et parallélisme

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1
Démontre que si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites sont parallèles, en raisonnant par l'absurde.
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Supposons les angles correspondants égaux et les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sécantes en un point $M$ .
Traçons alors la parallèle $(d')$ à $(d_1)$ passant par le point d'intersection de $(d_2)$ avec la sécante : par la propriété directe, elle forme avec la sécante un angle correspondant égal à celui de $(d_1)$ , donc égal à celui de $(d_2)$ .
Ainsi $(d')$ et $(d_2)$ passent par le même point et font le même angle avec la sécante, du même côté : elles sont confondues. Donc $(d_2)$ est parallèle à $(d_1)$ , ce qui contredit l'hypothèse qu'elles se coupent.
2
Une sécante coupe deux droites parallèles. Démontre que les bissectrices de deux angles alternes-internes sont parallèles entre elles.
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Notons $a$ la mesure commune des deux angles alternes-internes : chaque bissectrice forme avec la sécante un angle de $\frac{a}{2}$ .
Ces deux angles de $\frac{a}{2}$ sont eux-mêmes alternes-internes l'un de l'autre par rapport à la sécante, puisqu'ils occupent des positions symétriques de part et d'autre.
Deux droites formant avec une sécante des angles alternes-internes égaux sont parallèles : les deux bissectrices le sont donc.
3
Dans une figure en escalier, trois droites $(d_1)$ , $(d_2)$ et $(d_3)$ sont telles que $(d_1)$ et $(d_2)$ font un angle de 40° avec une sécante, et $(d_2)$ et $(d_3)$ un angle de 40° avec une autre sécante, dans la même configuration. Détermine la position de $(d_1)$ et $(d_3)$ .
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4
Une route monte à 12 % et croise une ligne électrique horizontale. Explique pourquoi l'angle entre la route et chaque pylône vertical est le même tout le long, et calcule-le au dixième de degré.
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5
Deux droites parallèles sont coupées par deux sécantes qui se croisent entre elles. Démontre que les quatre angles formés aux deux intersections avec la première parallèle déterminent entièrement ceux de la seconde.
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6
Un angle et son correspondant valent respectivement $x^2$ et $6x + 16$ degrés. Détermine les valeurs de $x$ rendant les droites parallèles, puis vérifie que les mesures obtenues ont un sens.
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7
Démontre que la somme des angles d'un quadrilatère vaut 360°, en utilisant une diagonale et la somme des angles d'un triangle.
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8
Trois droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle vaut 54°. Détermine le nombre d'angles de la figure qui mesurent 54°, et celui de ceux qui mesurent 126°.
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9
Explique pourquoi, sur une sphère, la propriété des angles alternes-internes cesse d'être valable.
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10
Une sécante coupe deux droites parallèles, et l'on considère les bissectrices de deux angles situés du même côté de la sécante, à l'intérieur. Démontre qu'elles sont perpendiculaires.
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