Bézout, Gauss et Fermat

🟠 Difficile

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1
Résous dans les entiers : $17x + 5y = 1$ .
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Euclide : $17 = 3 \times 5 + 2$ , $5 = 2 \times 2 + 1$ .
On remonte : $1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2(17 - 3 \times 5) = 7 \times 5 - 2 \times 17$ .
Solution particulière : $x_0 = -2$ , $y_0 = 7$ .
Solutions générales : $x = -2 + 5k$ et $y = 7 - 17k$ , pour $k$ entier.
2
Résous dans les entiers : $12x + 18y = 30$ .
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Le PGCD de 12 et 18 vaut 6, et 6 divise 30 : il y a des solutions.
On simplifie par 6 : $2x + 3y = 5$ .
Solution particulière : $x_0 = 1$ , $y_0 = 1$ .
Solutions générales : $x = 1 + 3k$ et $y = 1 - 2k$ , pour $k$ entier.
3
Calcule $2^{1000}$ modulo 11.
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4
Montre que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et divisent tous deux $n$ , alors $ab$ divise $n$ .
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5
Calcule le reste de $7^{2024}$ modulo 13.
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6
Montre que $2^n - 1$ et $2^n + 1$ sont premiers entre eux pour tout entier $n$ positif.
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7
Résous le système $x \equiv 3 \pmod 7$ et $x \equiv 5 \pmod{11}$ .
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8
Montre que 341 n'est pas premier, bien que $2^{340} \equiv 1 \pmod{341}$ .
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9
Pourquoi l'hypothèse « $p$ premier » est-elle indispensable dans le petit théorème de Fermat ?
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10
Trouve toutes les solutions entières de $9x + 12y = 6$ .
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