Bézout, Gauss et Fermat

Supposons que $a$ divise $bc$ et que $a$ soit premier avec $b$.
Par Bézout, il existe $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.
On multiplie par $c$ : $acu + bcv = c$.
Or $a$ divise $acu$, et $a$ divise $bc$ donc aussi $bcv$.
Donc $a$ divise la somme, c'est-à-dire $c$.
Le théorème de Gauss est ainsi une conséquence directe de Bézout.

Soit $p$ premier et $a$ non divisible par $p$.
Considérons les restes de $a, 2a, \ldots, (p-1)a$ modulo $p$.
Ils sont non nuls, car $p$ ne divise ni $a$ ni les entiers de 1 à $p-1$.
Ils sont deux à deux distincts : si $ia \equiv ja$, alors $p$ divise $(j-i)a$, donc $p$ divise $j-i$ par Gauss, ce qui est impossible pour $0 < |j-i| < p$.
Ces $p-1$ restes distincts et non nuls forment donc exactement l'ensemble des entiers de 1 à $p-1$.
En multipliant les $p-1$ congruences : $a^{p-1} \times P \equiv P \pmod p$, où $P$ désigne le produit $1 \times 2 \times \ldots \times (p-1)$.
Comme $P$ est premier avec $p$, on peut simplifier par Gauss : $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.