Bézout, Gauss et Fermat

🟢 Facile

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Divisibilité et nombres premiers ».

1
Que dit le théorème de Bézout ?
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Deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ .
Plus généralement, si $d$ est le PGCD de $a$ et $b$ , il existe $u$ et $v$ tels que $au + bv = d$ : c'est l'identité de Bézout.
2
Trouve $u$ et $v$ tels que $3u + 5v = 1$ .
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On essaie : $3 \times 2 + 5 \times (-1) = 6 - 5 = 1$ .
Donc $u = 2$ et $v = -1$ conviennent.
Il y a une infinité de solutions, par exemple $u = -3$ et $v = 2$ .
3
Les nombres 8 et 15 sont-ils premiers entre eux ? Donne un couple de Bézout.
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4
Que dit le théorème de Gauss ?
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5
Que dit le petit théorème de Fermat ?
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6
Calcule $2^6$ modulo 7 et vérifie le petit théorème de Fermat.
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7
Le théorème de Gauss s'applique-t-il à : 6 divise $4 \times 15$ , donc 6 divise 15 ?
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8
Vérifie que $3^4 \equiv 1 \pmod 5$ .
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9
Trouve $u$ et $v$ tels que $7u + 4v = 1$ .
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10
Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et que $a$ divise $b \times 12$ , que peut-on dire ?
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Comment ça s'est passé ?

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