Bézout, Gauss et Fermat

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Divisibilité et nombres premiers ».

S'abonner Ouvrir cette famille

1
Déroule l'algorithme d'Euclide sur 53 et 17, puis remonte pour trouver un couple de Bézout.
Voir le corrigéoffert
$53 = 3 \times 17 + 2$ , puis $17 = 8 \times 2 + 1$ , puis $2 = 2 \times 1 + 0$ .
Le PGCD vaut 1 : ils sont premiers entre eux.
On remonte : $1 = 17 - 8 \times 2$ , et $2 = 53 - 3 \times 17$ .
Donc $1 = 17 - 8(53 - 3 \times 17) = 25 \times 17 - 8 \times 53$ .
Le couple $(u ; v) = (-8 ; 25)$ vérifie $53u + 17v = 1$ .
2
Résous dans les entiers : $5x + 3y = 1$ .
Voir le corrigéoffert
Une solution particulière : $5 \times (-1) + 3 \times 2 = 1$ , donc $(x_0 ; y_0) = (-1 ; 2)$ .
Les solutions générales s'obtiennent en ajoutant les solutions de $5x + 3y = 0$ , c'est-à-dire $x = 3k$ et $y = -5k$ .
Donc $x = -1 + 3k$ et $y = 2 - 5k$ , pour $k$ entier.
3
Résous dans les entiers : $6x + 9y = 5$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Calcule l'inverse de 5 modulo 13.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Calcule $5^{12}$ modulo 13.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Calcule $3^{100}$ modulo 7.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Montre que si $7$ divise $5n$ , alors $7$ divise $n$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Pourquoi un entier $a$ admet-il un inverse modulo $n$ exactement quand $a$ et $n$ sont premiers entre eux ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Résous $7x \equiv 3 \pmod{11}$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Montre que $n^7 \equiv n \pmod 7$ pour tout entier $n$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

← Changer de niveau La fiche « Divisibilité et nombres premiers »