Le calcul matriciel

🟠 Difficile

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1
Calcule le produit $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ .
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Première ligne : $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$ , puis $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$ .
Deuxième ligne : $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$ , puis $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$ .
Le produit vaut $\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ .
2
On pose $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Compare les deux produits $AB$ et $BA$ .
Voir le corrigéoffert
Le premier donne $AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$ .
Le second donne $BA = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .
Les deux résultats sont différents : la multiplication des matrices n'est pas commutative, et l'ordre des facteurs doit toujours être respecté.
3
Détermine l'inverse de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
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4
Résous le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ en utilisant une matrice inverse.
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5
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , dont le carré vaut $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Détermine $A^{3}$ , puis propose une expression de $A^{n}$ .
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6
Vérifie que la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est sa propre inverse.
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7
Détermine l'inverse de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
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8
Calcule le carré de la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , puis propose une expression de ses puissances successives.
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9
Montre que la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ n'admet pas d'inverse.
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10
Résous le système $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 4y = 10 \end{cases}$ par la méthode matricielle.
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