Le calcul matriciel

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Matrices, graphes et chaînes de Markov ».

1
Calcule le produit de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ par la matrice identité d'ordre 2, puis commente le résultat.
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Chaque ligne de $A$ rencontre une colonne de l'identité qui ne contient qu'un seul 1.
On retrouve donc $A$ elle-même : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ .
La matrice identité ne modifie aucune matrice : c'est l'élément neutre de la multiplication.
2
Calcule le produit $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Voir le corrigéoffert
On parcourt chaque ligne de la première matrice et chaque colonne de la seconde.
Première ligne : $1 \times 0 + 2 \times 1 = 2$ , puis $1 \times 1 + 2 \times 0 = 1$ .
Deuxième ligne : $3 \times 0 + 4 \times 1 = 4$ , puis $3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$ .
Le produit vaut $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ : les deux colonnes ont été échangées.
3
Précise à quelle condition le produit de deux matrices est possible.
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4
Une matrice possède 2 lignes et 3 colonnes, une autre possède 3 lignes et 4 colonnes. Détermine le format de leur produit.
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5
Calcule le déterminant de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .
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6
Indique à quelle condition une matrice carrée d'ordre 2 est inversible.
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7
Calcule le déterminant de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , puis dis si elle est inversible.
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8
Calcule le carré de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
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9
Écris le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ sous la forme matricielle.
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10
Explique en quoi le produit de deux matrices ne se comporte pas comme celui de deux nombres.
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