Le calcul matriciel

Démontre, à l'aide d'un contre-exemple, que la multiplication des matrices n'est pas commutative.

Démontre par récurrence que la puissance d'exposant $n$ de la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ vaut $\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Démontre que si deux matrices carrées $A$ et $B$ sont inversibles, alors l'inverse du produit $AB$ est $B^{-1}A^{-1}$.

Détermine toutes les matrices d'ordre 2 qui commutent avec la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Démontre que le déterminant du produit de deux matrices d'ordre 2 est égal au produit de leurs déterminants.

On pose $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Vérifie l'égalité $A^{2} - 4A + 3I = 0$, puis déduis-en l'inverse de $A$.

Détermine la puissance d'exposant $n$ de la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, et justifie ta réponse.

On pose $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Vérifie que $P^{2} = P$, puis explique ce que cela signifie.

Résous le système $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + z = 5 \\ z = 3 \end{cases}$, puis explique pourquoi la forme de ce système rend le calcul immédiat.

Explique pourquoi l'égalité $AB = AC$ ne permet pas toujours de conclure que $B$ et $C$ sont égales.