La forme algébrique

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire $1 + i$.
Le dénominateur devient $(1-i)(1+i) = 1 - i^{2} = 2$. Le numérateur devient $(2+i)(1+i) = 2 + 2i + i - 1 = 1 + 3i$.
Le quotient vaut donc $\dfrac{1+3i}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i$. C'est la méthode systématique : multiplier par le conjugué rend le dénominateur réel.

Le discriminant vaut $4 - 20 = -16$, qui est négatif : il n'y a pas de racine réelle.
On écrit $-16 = (4i)^{2}$, et les solutions s'obtiennent par la formule habituelle : $z = \dfrac{2 \pm 4i}{2}$.
Les solutions sont $1 + 2i$ et $1 - 2i$. Elles sont conjuguées l'une de l'autre, ce qui arrive toujours quand les coefficients sont réels.