La forme algébrique

🟡 Moyen

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1
Calcule $(2 + i)(3 - 2i)$ .
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On développe comme avec des expressions littérales.
$6 - 4i + 3i - 2i^{2}$ . Or $i^{2} = -1$ , donc $-2i^{2} = +2$ .
Le résultat vaut $6 + 2 - i = 8 - i$ . Le remplacement de $i^{2}$ par $-1$ est l'étape à ne jamais oublier.
2
Calcule $i^{4}$ .
Voir le corrigéoffert
On écrit $i^{4} = \left(i^{2}\right)^{2}$ .
Or $i^{2} = -1$ , donc $i^{4} = (-1)^{2} = 1$ .
Les puissances de $i$ sont donc périodiques de période 4 : pour calculer $i^{n}$ , il suffit de regarder le reste de $n$ dans la division par 4.
3
Calcule $z\,\overline{z}$ pour $z = 3 + 4i$ .
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4
Démontre que $z\,\overline{z} = |z|^{2}$ pour tout nombre complexe $z$ .
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5
Calcule $(1 + i)^{2}$ .
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6
Détermine la forme algébrique de $\dfrac{1}{i}$ .
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7
Résous dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^{2} = -9$ .
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8
Calcule le module du nombre complexe $z = -5 + 12i$ .
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9
Donne la condition pour qu'un nombre complexe soit un imaginaire pur.
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10
Calcule $\overline{(2+3i)(1-i)}$ .
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Comment ça s'est passé ?

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