La forme algébrique

Posons $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$. Leur produit vaut $(aa' - bb') + i(ab' + a'b)$, après développement et remplacement de $i^{2}$ par $-1$.
Son conjugué vaut donc $(aa' - bb') - i(ab' + a'b)$.
Par ailleurs, $\overline{z}\,\overline{z'} = (a - ib)(a' - ib') = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$ : les deux expressions coïncident. Ce résultat se généralise aux puissances et aux quotients.

Le discriminant vaut $16 - 52 = -36$, que l'on écrit $(6i)^{2}$.
Les solutions valent $z = \dfrac{4 \pm 6i}{2}$, c'est-à-dire $2 + 3i$ et $2 - 3i$.
Ces deux nombres ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées : ils sont bien conjugués. Leur somme vaut 4, qui est l'opposé du coefficient de $z$, et leur produit vaut $4 + 9 = 13$, le terme constant : les relations entre coefficients et racines restent valables.