La forme exponentielle

🟠 Difficile

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1
Calcule $(1+i)^{10}$ en passant par la forme exponentielle.
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On écrit $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ .
En élevant à la puissance 10 : le module devient $\left(\sqrt{2}\right)^{10} = 2^{5} = 32$ , et l'exposant devient $i\dfrac{10\pi}{4} = i\dfrac{5\pi}{2}$ .
Or $\dfrac{5\pi}{2}$ équivaut à $\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$ : le résultat vaut $32e^{i\frac{\pi}{2}} = 32i$ .
2
Donne les formules d'Euler exprimant le cosinus et le sinus à l'aide d'exponentielles.
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$\cos(\theta) = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta) = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ .
Elles s'obtiennent en additionnant ou en soustrayant les écritures de $e^{i\theta}$ et de $e^{-i\theta}$ .
Elles servent surtout à linéariser, c'est-à-dire à transformer un produit de fonctions trigonométriques en somme.
3
Détermine les racines quatrièmes de l'unité sous forme exponentielle.
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4
Résous l'équation $z^{3} = 8$ en utilisant la forme exponentielle.
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5
Utilise les formules d'Euler pour écrire $\cos^{2}(\theta)$ à l'aide de $\cos(2\theta)$ .
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6
Calcule $\dfrac{1}{e^{i\theta}}$ .
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7
Démontre que $\left|e^{i\theta}\right| = 1$ pour tout réel $\theta$ .
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8
Détermine la forme exponentielle du nombre complexe $z = \dfrac{1+i}{1-i}$ .
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9
Détermine l'ensemble des points d'affixe $2e^{i\theta}$ lorsque $\theta$ décrit l'ensemble des réels.
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10
Explique pourquoi la notation exponentielle est cohérente avec les règles des puissances.
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