La forme exponentielle

On part des deux écritures $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$, cette dernière s'obtenant par parité du cosinus et imparité du sinus.
En additionnant : $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta$, d'où $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$.
En soustrayant : $e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$, d'où $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. Ces deux formules transforment toute question trigonométrique en un calcul algébrique.

On écrit $\sin^{3}\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right)^{3} = \dfrac{\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right)^{3}}{-8i}$, puisque $(2i)^{3} = -8i$.
On développe le cube : $e^{3i\theta} - 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} - e^{-3i\theta}$, que l'on regroupe en $\left(e^{3i\theta} - e^{-3i\theta}\right) - 3\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right) = 2i\sin(3\theta) - 6i\sin\theta$.
Donc $\sin^{3}\theta = \dfrac{2i\sin 3\theta - 6i\sin\theta}{-8i} = \dfrac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}$. La linéarisation est indispensable pour intégrer ce genre d'expression.