Complexes et géométrie

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1
Démontre que trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un nombre réel.
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Le numérateur est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AC}$ , le dénominateur celle de $\overrightarrow{AB}$ , et ce dernier n'est pas nul puisque $A$ et $B$ sont distincts.
Les trois points sont alignés si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$ . En affixes, cela s'écrit exactement $z_{C} - z_{A} = k\left(z_{B} - z_{A}\right)$ .
Diviser donne $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}} = k$ , un réel. Réciproquement, si le quotient est un réel $k$ , la relation de colinéarité est vérifiée. L'équivalence est donc démontrée.
2
Détermine la nature et les éléments caractéristiques de la transformation d'écriture complexe $z \mapsto iz + 1 - i$ .
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La forme $z \mapsto az + b$ avec $a$ de module 1 et différent de 1 est une rotation. Ici $a = i$ , de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
On cherche le centre, c'est-à-dire le point fixe : $\omega = i\omega + 1 - i$ , soit $\omega(1 - i) = 1 - i$ , donc $\omega = 1$ .
C'est donc la rotation de centre le point d'affixe 1 et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . On vérifie l'écriture : $z' - 1 = i(z-1)$ donne bien $z' = iz + 1 - i$ .
3
Démontre que le triangle de sommets d'affixes $a$ , $b$ et $c$ est équilatéral direct si et seulement si $c - a = e^{i\frac{\pi}{3}}(b - a)$ .
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4
Détermine l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1 - i| \leqslant 2$ .
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5
Détermine l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle dont les sommets ont pour affixes 0, 4 et $2 + 2i$ .
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6
Démontre que la composée de deux rotations de même centre est une rotation de ce centre.
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7
Détermine l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z + \overline{z} = 4$ .
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8
Démontre que les images des racines $n$ -ièmes de l'unité forment un polygone régulier à $n$ côtés.
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9
Détermine l'écriture complexe de la similitude directe qui envoie le point d'affixe 0 sur celui d'affixe 1, et le point d'affixe 1 sur celui d'affixe $i$ .
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10
Explique pourquoi la multiplication par un nombre complexe code à la fois une rotation et un agrandissement.
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