Module, argument et forme trigonométrique

Initialisation : pour $n = 0$, les deux membres valent 1, puisque $\cos(0) = 1$ et $\sin(0) = 0$.
Hérédité : supposons $\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$. En multipliant par $\cos\theta + i\sin\theta$ et en développant, on obtient $\left(\cos n\theta\cos\theta - \sin n\theta\sin\theta\right) + i\left(\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta\right)$.
On reconnaît les formules d'addition : cela vaut $\cos\left((n+1)\theta\right) + i\sin\left((n+1)\theta\right)$. La formule est donc vraie pour tout entier naturel.

Le nombre $i$ a pour module 1 et pour argument $\dfrac{\pi}{2}$. On cherche $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ tel que $z^{2} = i$.
Le module de $z^{2}$ vaut $r^{2} = 1$, donc $r = 1$. L'argument vaut $2\theta$, qui doit valoir $\dfrac{\pi}{2}$ à un multiple de $2\pi$ près : $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ ou $\theta = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$.
Les deux racines carrées sont donc $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$ et son opposé. On vérifie : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\right)^{2} = \dfrac{1}{2} \times 2i = i$.