Cosinus, sinus et tangente

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1
Démontre que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ pour tout angle aigu $x$ .
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Plaçons-nous dans un triangle rectangle d'hypoténuse $c$ , de côté adjacent $a$ et de côté opposé $b$ pour l'angle $x$ . Alors $\cos(x) = \dfrac{a}{c}$ et $\sin(x) = \dfrac{b}{c}$ .
$\cos^2(x) + \sin^2(x) = \dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2}$ .
Or le théorème de Pythagore donne $a^2 + b^2 = c^2$ : le quotient vaut donc 1. Cette égalité n'est rien d'autre que Pythagore divisé par $c^2$ .
2
Démontre que $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ pour tout angle aigu $x$ .
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Avec les mêmes notations, $\sin(x) = \dfrac{b}{c}$ et $\cos(x) = \dfrac{a}{c}$ .
Le quotient vaut $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{b}{c} \times \dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{a}$ .
Or $\dfrac{b}{a}$ est bien le quotient du côté opposé par le côté adjacent, c'est-à-dire $\tan(x)$ .
3
Le cosinus d'un angle aigu vaut 0,8. Calcule son sinus.
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4
Calcule les valeurs exactes de $\cos(30°)$ , $\sin(30°)$ et $\tan(30°)$ .
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5
Calcule les valeurs exactes de $\cos(60°)$ , $\sin(60°)$ et $\tan(60°)$ .
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6
Un mât vertical projette une ombre de 9 m lorsque le Soleil est à 35° au-dessus de l'horizon. Calcule sa hauteur, arrondie au décimètre.
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7
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 8 cm et un angle aigu de 20°. Calcule son aire, arrondie au dixième.
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8
Une échelle fait un angle de 70° avec le sol, et son pied se trouve à 1,2 m du mur. Calcule sa longueur, arrondie au centimètre.
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9
Explique pourquoi le sinus d'un angle aigu est toujours strictement inférieur à 1.
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10
Dans un triangle rectangle, détermine la mesure de l'angle aigu dont la tangente vaut 1.
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