Cosinus, sinus et tangente

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1
Démontre que $\sin(90° - x) = \cos(x)$ pour tout angle aigu $x$ .
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Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme 90° : si l'un vaut $x$ , l'autre vaut $90° - x$ .
Le côté opposé à l'angle $90° - x$ est exactement le côté adjacent à l'angle $x$ , et l'hypoténuse est la même pour les deux.
Donc $\sin(90° - x) = \dfrac{\text{adjacent à } x}{\text{hypoténuse}} = \cos(x)$ . On démontre de la même façon $\cos(90° - x) = \sin(x)$ .
2
La tangente d'un angle aigu vaut 2,4. Calcule son sinus et son cosinus en valeurs exactes.
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On peut choisir un triangle rectangle dont le côté opposé mesure 2,4 et le côté adjacent 1, puisque seule leur proportion compte.
L'hypoténuse vaut alors $\sqrt{1 + 2{,}4^2} = \sqrt{1 + 5{,}76} = \sqrt{6{,}76} = 2{,}6$ .
Donc $\sin(x) = \dfrac{2{,}4}{2{,}6} = \dfrac{12}{13}$ et $\cos(x) = \dfrac{1}{2{,}6} = \dfrac{5}{13}$ . On reconnaît le triplet 5, 12, 13.
3
Un observateur vise le sommet d'une tour sous un angle de 32° au-dessus de l'horizontale. En s'approchant de 25 m, il le vise sous 48°. Calcule la hauteur de la tour, arrondie au dixième de mètre.
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4
À partir d'un triangle équilatéral de côté 1, retrouve la valeur exacte de $\cos(30°)$ .
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5
Démontre que l'aire d'un triangle rectangle d'hypoténuse $c$ et d'angle aigu $x$ vaut $\dfrac{c^2 \sin(x) \cos(x)}{2}$ .
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6
Un avion décolle avec une pente de 8 %. Calcule l'angle de montée, arrondi au dixième de degré.
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7
Un panneau routier annonce une pente de 12 %. Calcule le dénivelé obtenu après 3 km parcourus le long de la route, arrondi au mètre.
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8
Calcule sans calculatrice la valeur de $\cos(60°) \times \sin(30°) + \sin(60°) \times \cos(30°)$ .
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9
Explique pourquoi la tangente n'est pas définie pour un angle de 90°.
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10
Un triangle rectangle a un périmètre de 24 cm et l'un de ses angles aigus mesure 30°. Calcule ses trois côtés, arrondis au dixième.
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