Croissance, décroissance et modélisation

🟠 Difficile

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Exponentielle et logarithme ».

1
Une ville compte 50 000 habitants en 2024 et croît de 1,5 % par an. Détermine l'année où sa population dépassera 70 000 habitants.
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On cherche $n$ tel que $50\,000 \times 1{,}015^{n} \gt 70\,000$ , soit $1{,}015^{n} \gt 1{,}4$ .
En appliquant le logarithme : $n \gt \dfrac{\ln(1{,}4)}{\ln(1{,}015)} \approx \dfrac{0{,}3365}{0{,}014889} \approx 22{,}6$ .
Il faut donc 23 années, c'est-à-dire en 2047. On vérifie : $50\,000 \times 1{,}015^{23} \approx 70\,350$ habitants.
2
Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Détermine l'âge d'un échantillon contenant 25 % du carbone 14 initial.
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Passer de 100 % à 25 %, c'est diviser par 4, donc effectuer deux divisions par 2.
Il s'est donc écoulé deux demi-vies.
L'âge vaut $2 \times 5\,730 = 11\,460$ ans.
3
Détermine l'âge d'un échantillon contenant 10 % du carbone 14 initial, la demi-vie étant de 5 730 ans.
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4
Un modèle logistique s'écrit $f(t) = \dfrac{1000}{1 + 9e^{-0{,}5t}}$ . Calcule $f(0)$ , puis la limite de $f$ en $+\infty$ .
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5
Explique pourquoi une croissance exponentielle ne peut pas durer indéfiniment dans un milieu limité.
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6
On compare deux placements de 1 000 € : le premier rapporte 5 % par an, le second 60 € par an. Détermine au bout de combien d'années le premier dépasse le second.
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7
Une population de bactéries suit le modèle $N(t) = 500\,e^{0{,}3t}$ , avec $t$ en heures. Détermine le temps nécessaire pour atteindre 10 000 bactéries.
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8
Démontre que le temps de doublement d'un modèle $f(t) = a\,e^{kt}$ ne dépend pas de la valeur initiale $a$ .
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9
Détermine le taux annuel équivalent à un taux mensuel de 1 %.
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10
Une grandeur décroît de 20 % par an. Détermine sa demi-vie, arrondie au dixième d'année.
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