Croissance, décroissance et modélisation

🔴 Expert

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Exponentielle et logarithme ».

1
Démontre que le temps de doublement d'une croissance exponentielle de taux instantané $k$ vaut $\dfrac{\ln(2)}{k}$ .
Voir le corrigéoffert
Le modèle s'écrit $f(t) = a\,e^{kt}$ avec $a$ et $k$ strictement positifs. On cherche la durée $T$ telle que la grandeur soit multipliée par 2.
On résout $a\,e^{k(t+T)} = 2a\,e^{kt}$ . En développant l'exponentielle et en simplifiant par $a\,e^{kt}$ , qui n'est jamais nul, il reste $e^{kT} = 2$ .
En appliquant le logarithme népérien : $kT = \ln(2)$ , donc $T = \dfrac{\ln(2)}{k}$ . Cette durée est indépendante de l'instant choisi, ce qui est précisément la signature d'une croissance exponentielle.
2
Explique en quoi consiste la règle de 70 utilisée par les économistes, et justifie-la.
Voir le corrigéoffert
Elle affirme que le temps de doublement s'obtient en divisant 70 par le taux de croissance exprimé en pourcentage : à 5 % par an, il faut environ 14 ans.
La justification tient en deux approximations. D'abord, le temps exact vaut $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1+t)}$ , et $\ln(2) \approx 0{,}693$ . Ensuite, pour un taux faible, $\ln(1+t) \approx t$ : un taux de 5 % donne $\ln(1{,}05) \approx 0{,}0488$ , très proche de $0{,}05$ .
Le temps vaut donc environ $\dfrac{0{,}693}{t}$ , c'est-à-dire $\dfrac{69{,}3}{t}$ avec $t$ en pourcentage, que l'on arrondit à 70 parce que ce nombre a beaucoup de diviseurs. L'approximation se dégrade pour les taux élevés : à 20 %, elle annonce 3,5 ans contre 3,8 en réalité.
3
Un modèle logistique s'écrit $f(t) = \dfrac{L}{1 + a\,e^{-kt}}$ avec $a$ et $k$ strictement positifs. Détermine la limite en $+\infty$ et interprète le paramètre $L$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Une population double tous les 30 ans. Détermine le temps nécessaire pour qu'elle soit multipliée par 1 000.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Compare la croissance de $2^{t}$ et celle de $t^{10}$ , puis détermine à partir de quelle valeur l'exponentielle l'emporte.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Un capital de 10 000 € est placé à 3 % par an pendant 30 ans. Compare le résultat à intérêts composés et à intérêts simples.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Démontre qu'une grandeur multipliée par un même facteur sur des intervalles de temps égaux suit nécessairement un modèle exponentiel.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Le refroidissement d'un objet suit le modèle $f(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}2t}$ , la température étant en degrés et $t$ en minutes. Détermine la température initiale, la limite, et le temps nécessaire pour atteindre 35 degrés.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Détermine le taux d'intérêt annuel nécessaire pour tripler un capital en 15 ans.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Explique pourquoi une croissance à taux constant produit une courbe qui paraît presque plate au début, puis semble exploser.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

← Changer de niveau