Croissance, décroissance et modélisation

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Exponentielle et logarithme ».

1
Un prix de 80 € augmente de 3 % par an. Calcule son prix au bout de 5 ans, arrondi au centime.
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Le coefficient annuel vaut $1{,}03$ , donc le prix est multiplié par $1{,}03^{5}$ .
$1{,}03^{5} \approx 1{,}15927$ , donc $80 \times 1{,}15927 \approx 92{,}74$ .
Le prix vaut environ $92{,}74$ €. Ce n'est pas une hausse de 15 % mais de 15,93 % : les pourcentages ne s'additionnent pas.
2
Détermine le temps de doublement d'un capital placé à 5 % par an.
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On cherche $n$ tel que $1{,}05^{n} \geqslant 2$ .
En appliquant le logarithme : $n \geqslant \dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}04879} \approx 14{,}2$ .
Il faut donc 15 années entières pour que le capital ait doublé. On remarque que $70 \div 5 = 14$ : c'est la règle de 70.
3
Une population passe de 500 à 800 individus en 4 ans. Détermine le taux annuel moyen de croissance.
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4
Écris le modèle $f(t) = 100 \times 1{,}08^{t}$ sous la forme $a\,e^{kt}$ .
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5
Explique la différence entre une croissance linéaire et une croissance exponentielle.
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6
Un médicament a une demi-vie de 6 heures. Calcule la fraction restante au bout de 24 heures.
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7
Détermine le nombre d'années nécessaires pour qu'un capital placé à 4 % par an augmente de 50 %.
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8
Une quantité suit le modèle $f(t) = 200\,e^{-0{,}1t}$ . Calcule $f(10)$ , arrondi à l'unité.
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9
Dans un modèle $f(t) = a\,e^{kt}$ , indique le signe de $k$ lorsque la grandeur diminue.
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10
Détermine le taux d'évolution global correspondant à trois hausses successives de 10 %.
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