Les dérivées usuelles

🟠 Difficile

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Dérivation et variations ».

1
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = (3x - 1)^2$ , en développant d'abord.
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On développe : $f(x) = 9x^2 - 6x + 1$ .
On dérive terme à terme : $18x - 6$ .
Donc $f'(x) = 18x - 6$ , que l'on peut aussi écrire $6(3x - 1)$ . On reconnaît la règle de la fonction composée : la dérivée de $u^2$ est $2u \times u'$ .
2
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$ .
Voir le corrigéoffert
On pose $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = x + 2$ , donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 1$ .
$f'(x) = \dfrac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{2x + 4 - 2x + 1}{(x+2)^2}$ .
Donc $f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2}$ . Il faut bien distribuer le signe moins sur tout le numérateur $u$ .
3
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = x\sqrt{x}$ pour $x$ strictement positif.
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4
Réécris la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ sous forme de somme, puis dérive-la.
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5
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = (x^2 + 1)(x - 2)$ .
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6
Détermine l'ensemble sur lequel la fonction racine carrée est dérivable.
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7
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ .
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8
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = \dfrac{3}{2x + 5}$ .
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9
Explique pourquoi la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
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10
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x}$ pour $x$ strictement positif.
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