Les dérivées usuelles

Le taux de variation de $uv$ entre $a$ et $a+h$ vaut $\dfrac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}$.
On ajoute et retranche le terme $u(a)v(a+h)$ au numérateur, ce qui ne change rien : il devient $\left(u(a+h) - u(a)\right)v(a+h) + u(a)\left(v(a+h) - v(a)\right)$. En divisant par $h$, on reconnaît deux taux de variation.
Quand $h$ se rapproche de 0, le premier facteur se rapproche de $u'(a)$ et $v(a+h)$ de $v(a)$, le second de $v'(a)$. On obtient $(uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$. L'astuce du terme ajouté puis retranché est la clé de la démonstration.

On pose $u(x) = x^2 - 1$ et $v(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 2x$.
$f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1) \times 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x\left[(x^2+1) - (x^2-1)\right]}{(x^2+1)^2}$.
Le crochet vaut 2, donc $f'(x) = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$. Factoriser par $2x$ évite un développement pénible.