Deux épreuves et arbres

Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire trois boules sans remise. Calcule la probabilité d'obtenir exactement deux rouges.

Un test de dépistage détecte 95 % des malades et se trompe pour 2 % des non-malades. La maladie touche 1 % de la population. Une personne est testée positive. Calcule la probabilité qu'elle soit réellement malade.

Une urne contient 8 boules dont $v$ sont vertes. On tire deux boules sans remise, et la probabilité que les deux soient vertes vaut $\frac{3}{14}$. Détermine $v$.

On lance une pièce équilibrée quatre fois de suite. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un pile, puis compare au raisonnement « quatre fois $\frac{1}{2}$ font 2, donc c'est certain ».

Deux joueurs tirent chacun une boule, sans remise, dans une urne contenant 2 boules gagnantes et 4 perdantes. Démontre que les deux joueurs ont la même probabilité de gagner, bien que le second tire après le premier.

Une machine A produit 70 % des pièces d'un atelier avec 3 % de défauts, une machine B produit les 30 % restants avec 8 % de défauts. Calcule la proportion de pièces défectueuses de l'atelier, puis la part de ces pièces qui viennent de B.

On tire successivement et sans remise trois cartes d'un jeu de 32. Calcule la probabilité qu'aucune ne soit un as.

Un sac contient 3 boules numérotées 1, 2 et 3. On en tire deux sans remise et on fait la somme. Détermine la loi de probabilité de cette somme.

L'urne A contient 2 boules rouges et 3 vertes, l'urne B en contient 4 rouges et 1 verte. On choisit une urne au hasard, puis on y tire une boule. Calcule la probabilité d'obtenir une rouge, puis la probabilité que la boule vienne de A sachant qu'elle est rouge.

Explique pourquoi, pour un tirage sans remise dans une urne de 10 000 boules, on fait souvent le calcul comme s'il y avait remise, et estime l'erreur commise sur un exemple.