Division euclidienne et congruences

🟠 Difficile

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1
Montre que $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 6 pour tout entier $n$ .
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Parmi trois entiers consécutifs, l'un au moins est pair : le produit est divisible par 2.
Parmi trois entiers consécutifs, l'un exactement est multiple de 3 : en effet, les restes modulo 3 de $n$ , $n+1$ , $n+2$ parcourent 0, 1 et 2 dans un certain ordre.
Le produit est donc divisible par 2 et par 3, qui sont premiers entre eux : il est divisible par 6.
2
Calcule le reste de $2^{2024}$ modulo 7.
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$2^1 \equiv 2$ , $2^2 \equiv 4$ , $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ : période 3.
$2\,024 = 3 \times 674 + 2$ .
Donc $2^{2024} \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod 7$ .
3
Montre que $4^n + 5$ est divisible par 3 pour tout entier naturel $n$ .
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4
Quels sont les restes possibles de $n^2 + n$ modulo 2 ?
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5
Résous le système : $x \equiv 2 \pmod 3$ et $x \equiv 3 \pmod 5$ .
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6
Montre que si $a \equiv b \pmod n$ , alors $a^k \equiv b^k \pmod n$ pour tout entier $k$ positif.
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7
Montre que 11 divise $10^n - (-1)^n$ pour tout entier naturel $n$ .
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8
Quel est le reste de $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ modulo 7 ?
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9
Montre qu'un nombre congru à 3 modulo 4 n'est jamais somme de deux carrés.
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10
Pourquoi les congruences simplifient-elles les calculs de grandes puissances ?
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