Division euclidienne et congruences

Pour tout entier $a$ et tout entier $b$ strictement positif, il existe un unique couple d'entiers $(q ; r)$ tel que $a = bq + r$ et $0 \leqslant r < b$.
L'existence vient de ce que les multiples de $b$ encadrent $a$ ; l'unicité de ce que deux restes valides ne peuvent différer de moins de $b$ sans être égaux.
C'est le théorème qui fonde toute l'arithmétique des congruences.

$3^1 \equiv 3$, $3^2 \equiv 2$, $3^3 \equiv 6$, $3^4 \equiv 4$, $3^5 \equiv 5$, $3^6 \equiv 1 \pmod 7$.
Les puissances sont donc périodiques de période 6.
$10 = 6 + 4$, donc $3^{10} \equiv 3^4 \equiv 4 \pmod 7$.