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Division euclidienne et congruences

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  1. 1

    Démontre l'unicité du couple (q;r)(q ; r) dans la division euclidienne.

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    Supposons a=bq+r=bq′+r′a = bq + r = bq' + r' avec 0⩽r<b0 \leqslant r < b et 0⩽r′<b0 \leqslant r' < b.
    Alors b(q−q′)=r′−rb(q - q') = r' - r.
    Or −b<r′−r<b-b < r' - r < b, donc ∣b(q−q′)∣<b|b(q - q')| < b, ce qui impose ∣q−q′∣<1|q - q'| < 1.
    Comme q−q′q - q' est un entier, q=q′q = q', puis r=r′r = r'.
    Le couple est donc unique, et c'est cette unicité qui permet de parler du quotient et du reste.

  2. 2

    Montre que tout nombre premier supérieur à 3 est congru à 1 ou 5 modulo 6.

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    Les classes modulo 6 sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
    Les classes 0, 2 et 4 contiennent des nombres pairs, donc non premiers au-delà de 2.
    La classe 3 contient les multiples de 3, donc rien de premier au-delà de 3.
    Il ne reste que les classes 1 et 5.
    Attention : la réciproque est fausse, puisque 25≡1(mod6)25 \equiv 1 \pmod 6 n'est pas premier.

  3. 3

    Montre que n5−nn^5 - n est divisible par 5 pour tout entier nn.

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  4. 4

    Trouve le reste de 720247^{2024} modulo 100.

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  5. 5

    Montre que la somme des chiffres d'un nombre et ce nombre sont congrus modulo 9.

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  6. 6

    Résous x2≡1(mod8)x^2 \equiv 1 \pmod 8.

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  7. 7

    Montre que si pp est premier et ne divise pas aa, alors les restes de a,2a,3a,…,(p−1)aa, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a modulo pp sont tous distincts.

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  8. 8

    Un nombre s'écrit avec 2 024 chiffres, tous égaux à 1. Quel est son reste modulo 9 ?

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  9. 9

    Montre que l'équation x2+y2=3z2x^2 + y^2 = 3z^2 n'a pas de solution en entiers non nuls.

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  10. 10

    Pourquoi les congruences sont-elles au cœur du chiffrement RSA ?

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