Droites et plans de l'espace

🟠 Difficile

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1
Détermine les coordonnées du point d'intersection de la droite de représentation paramétrique $x = 1 + t$ , $y = 2t$ , $z = 3 - t$ avec le plan d'équation $x + y + z - 6 = 0$ .
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On remplace les trois coordonnées dans l'équation du plan : $(1 + t) + 2t + (3 - t) - 6 = 0$ .
Cela donne $2t - 2 = 0$ , donc $t = 1$ .
En reportant : $x = 2$ , $y = 2$ et $z = 2$ . Le point d'intersection a pour coordonnées $(2 ; 2 ; 2)$ .
2
Détermine une équation cartésienne du plan passant par $A(1 ; 0 ; 0)$ , $B(0 ; 2 ; 0)$ et $C(0 ; 0 ; 3)$ .
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Cherchons une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ . Le passage par $A$ donne $a + d = 0$ , par $B$ donne $2b + d = 0$ , et par $C$ donne $3c + d = 0$ .
En choisissant $d = -6$ , on obtient $a = 6$ , $b = 3$ et $c = 2$ .
Une équation est donc $6x + 3y + 2z - 6 = 0$ . On la vérifie sur les trois points.
3
Calcule la mesure de l'angle entre les vecteurs $\vec{u}(1 ; 1 ; 0)$ et $\vec{v}(1 ; 0 ; 1)$ .
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4
Démontre que la droite de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 2 ; -1)$ est parallèle au plan d'équation $x + y + 3z + 4 = 0$ ou incluse dans celui-ci.
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5
Dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, avec $A(0 ; 0 ; 0)$ , $B(1 ; 0 ; 0)$ , $D(0 ; 1 ; 0)$ et $E(0 ; 0 ; 1)$ , calcule l'angle entre la grande diagonale $\overrightarrow{AG}$ et l'arête $\overrightarrow{AB}$ .
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6
Calcule la distance du point $A(1 ; 2 ; 3)$ au plan d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$ .
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7
Donne un vecteur normal au plan passant par $A(0 ; 0 ; 0)$ , $B(1 ; 1 ; 0)$ et $C(1 ; 0 ; 1)$ .
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8
Démontre que les droites de représentations paramétriques $(x = t,\ y = t,\ z = 0)$ et $(x = 1,\ y = s,\ z = 1)$ ne sont pas coplanaires.
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9
Démontre que la droite de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 2 ; 3)$ est orthogonale au plan d'équation $x + 2y + 3z - 5 = 0$ .
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10
Détermine l'intersection des plans d'équations $x + y + z - 3 = 0$ et $x - y = 0$ .
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