Droites et plans de l'espace

Soit $M_0$ un point, $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et $\vec{n}(a ; b ; c)$ un vecteur normal. Notons $H$ le projeté orthogonal de $M_0$ sur $P$ : la distance cherchée est $M_0H$.
Le vecteur $\overrightarrow{HM_0}$ est colinéaire à $\vec{n}$, donc $|\overrightarrow{HM_0} \cdot \vec{n}| = M_0H \times \|\vec{n}\|$. Or $\overrightarrow{HM_0} \cdot \vec{n} = \overrightarrow{OM_0} \cdot \vec{n} - \overrightarrow{OH} \cdot \vec{n}$, et comme $H$ appartient au plan, $ax_H + by_H + cz_H = -d$.
Il reste $|ax_0 + by_0 + cz_0 + d| = M_0H \times \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, d'où la formule $M_0H = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Le sommet $G$ a pour coordonnées $(1 ; 1 ; 1)$ et $H$ pour coordonnées $(0 ; 1 ; 1)$, donc $\overrightarrow{AG}(1 ; 1 ; 1)$ et $\overrightarrow{BH}(-1 ; 1 ; 1)$.
Le produit scalaire vaut $-1 + 1 + 1 = 1$, et chaque norme vaut $\sqrt{3}$ : donc $\cos(\theta) = \dfrac{1}{3}$.
L'angle mesure donc environ 70,53°. Les grandes diagonales d'un cube ne sont donc pas perpendiculaires, contrairement à ce que l'intuition suggère souvent.