Les droites remarquables du triangle

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1
Un triangle a un angle obtus. Détermine la position de son orthocentre et celle du centre de son cercle circonscrit.
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Les deux hauteurs issues des sommets aigus tombent à l'extérieur : l'orthocentre est donc à l'extérieur du triangle, du côté de l'angle obtus.
Le centre du cercle circonscrit est lui aussi à l'extérieur, de l'autre côté du côté opposé à l'angle obtus.
Le centre de gravité et le centre du cercle inscrit restent, eux, toujours à l'intérieur.
2
Dans un triangle $ABC$ , la médiane issue de $A$ coupe $[BC]$ en $M$ . Démontre que les triangles $ABM$ et $ACM$ ont la même aire.
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Les deux triangles ont des bases $[BM]$ et $[MC]$ de même longueur, puisque $M$ est le milieu de $[BC]$ .
Ils ont de plus la même hauteur, celle issue de $A$ vers la droite $(BC)$ .
Leurs aires, qui valent la moitié du produit de la base par la hauteur, sont donc égales : chacune vaut la moitié de l'aire de $ABC$ .
3
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 cm. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
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4
Explique comment construire le cercle circonscrit à un triangle, et pourquoi deux médiatrices suffisent.
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5
Dans un triangle, une médiane et une hauteur issues du même sommet sont confondues. Détermine la nature du triangle.
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6
Un triangle $ABC$ a pour sommets $A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,0)$ et $C(0\,;\,8)$ dans un repère. Détermine les coordonnées du centre de son cercle circonscrit.
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7
Dans un triangle, les trois bissectrices se coupent en un point $I$ situé à 3 cm de chaque côté. Calcule le rayon du cercle inscrit.
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8
Une médiane d'un triangle est partagée par le centre de gravité en deux segments. L'un mesure 6 cm. Détermine les deux valeurs possibles de la longueur de la médiane.
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9
Explique pourquoi le centre de gravité est toujours à l'intérieur du triangle, contrairement à l'orthocentre.
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10
Dans un triangle isocèle $ABC$ de sommet principal $A$ , explique pourquoi l'orthocentre, le centre de gravité et les deux centres de cercles sont alignés.
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