Les droites remarquables du triangle

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1
Démontre que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
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Soit $O$ le point d'intersection des médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ ; elles ne sont pas parallèles, puisque $[AB]$ et $[BC]$ ne le sont pas.
Appartenant à la médiatrice de $[AB]$ , le point $O$ vérifie $OA = OB$ ; appartenant à celle de $[BC]$ , il vérifie $OB = OC$ .
Donc $OA = OC$ : le point $O$ est à égale distance de $A$ et de $C$ , il appartient donc à la médiatrice de $[AC]$ . Les trois médiatrices passent bien par $O$ .
2
Démontre que dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets.
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Soit $ABC$ rectangle en $A$ , et $O$ le milieu de $[BC]$ . Par construction, $OB = OC$ .
Le centre du cercle circonscrit est l'intersection des médiatrices ; or la médiatrice de $[AB]$ et celle de $[AC]$ se coupent nécessairement en un point à égale distance des trois sommets, et ce point appartient aussi à la médiatrice de $[BC]$ .
Comme la médiatrice de $[BC]$ passe par son milieu $O$ , et qu'elle est l'unique droite perpendiculaire à $[BC]$ en ce point, le centre est $O$ lui-même. D'où $OA = OB = OC$ : le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse.
3
Dans un triangle $ABC$ , le centre de gravité $G$ et les milieux $M$ , $N$ , $P$ des côtés forment plusieurs triangles. Démontre que $G$ est aussi le centre de gravité du triangle $MNP$ .
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4
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Calcule le rayon de son cercle inscrit, sachant que l'aire vaut le produit du rayon par le demi-périmètre.
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5
Démontre que la hauteur issue du sommet principal d'un triangle isocèle est aussi médiatrice de la base.
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6
Dans un triangle, explique pourquoi la bissectrice d'un angle coupe toujours le côté opposé, alors que la hauteur ne le coupe pas toujours.
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7
Un triangle $ABC$ a pour sommets $A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,0)$ et $C(2\,;\,6)$ . Calcule les coordonnées de son centre de gravité.
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8
Explique pourquoi l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit d'un triangle quelconque sont toujours alignés.
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9
Un cercle de rayon 5 cm est circonscrit à un triangle dont un côté mesure 10 cm. Détermine la nature de ce triangle.
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10
Une plaque triangulaire homogène est posée en équilibre sur une pointe. Explique pourquoi le point d'équilibre est le centre de gravité, et non le centre du cercle inscrit.
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Médiatrice, c'est quoi ?Bissectrice, c'est quoi ?Hauteur (d'un triangle), c'est quoi ?