Les équations différentielles

🟠 Difficile

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1
Résous l'équation différentielle $y' = 2y + 6$ avec la condition $y(0) = 1$ .
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On cherche d'abord la solution constante : $0 = 2y + 6$ donne $y = -3$ .
Les solutions sont donc les fonctions $f(x) = C\,e^{2x} - 3$ .
La condition $f(0) = 1$ donne $C - 3 = 1$ , donc $C = 4$ . La solution est $f(x) = 4e^{2x} - 3$ .
2
Un objet refroidit selon la loi $T' = -0{,}2(T - 20)$ , la température étant en degrés et le temps en minutes. Résous cette équation avec $T(0) = 80$ .
Voir le corrigéoffert
On développe : $T' = -0{,}2T + 4$ . La solution constante vérifie $0 = -0{,}2T + 4$ , donc $T = 20$ : c'est la température ambiante.
Les solutions sont donc $T(t) = C\,e^{-0{,}2t} + 20$ . La condition $T(0) = 80$ donne $C + 20 = 80$ , donc $C = 60$ .
La solution est $T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}2t}$ . L'objet part de 80 degrés et se rapproche de 20 degrés sans jamais les atteindre : c'est la loi de refroidissement de Newton.
3
Démontre que si $f$ est solution de $y' = ay$ , alors la fonction $g(x) = f(x)\,e^{-ax}$ est constante.
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4
Résous l'équation différentielle $y' = -3y + 12$ avec la condition $y(0) = 0$ .
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5
Une population de bactéries vérifie $N' = 0{,}3N$ , avec $N(0) = 500$ et le temps en heures. Détermine l'effectif au bout de 10 heures.
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6
Explique pourquoi toutes les solutions de $y' = ay + b$ se rapprochent de $-\dfrac{b}{a}$ lorsque $a$ est strictement négatif.
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7
Détermine la solution de l'équation $y' = -y + 2$ qui vaut 5 en 0.
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8
Donne l'équation différentielle de la forme $y' = ay$ dont la fonction $f(x) = 7e^{-2x}$ est solution.
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9
La tension aux bornes d'un condensateur en charge vérifie $u' = \dfrac{E - u}{RC}$ . Donne l'expression de $u(t)$ sachant que $u(0) = 0$ .
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10
Démontre que la somme de deux solutions de l'équation $y' = ay$ est encore solution de cette équation.
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