Les équations différentielles

🟡 Moyen

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1
Résous l'équation différentielle $y' = -0{,}5y$ avec la condition $y(0) = 10$ .
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Les solutions sont les fonctions $f(x) = C\,e^{-0{,}5x}$ .
La condition $f(0) = 10$ donne $C = 10$ .
La solution est $f(x) = 10\,e^{-0{,}5x}$ . Elle décroît vers 0 sans jamais l'atteindre.
2
Donne la forme des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ , avec $a$ non nul.
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Ce sont les fonctions $f(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ , où $C$ est une constante réelle.
Le terme $-\dfrac{b}{a}$ est la solution constante de l'équation, et $C\,e^{ax}$ est la solution générale de l'équation sans second membre.
Toute solution est donc la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène.
3
Détermine la solution constante de l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ .
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4
Résous l'équation différentielle $y' = 3y$ avec la condition $y(0) = -2$ .
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5
Vérifie que la fonction $f(x) = 4 + C\,e^{-2x}$ est solution de l'équation $y' = -2y + 8$ .
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6
Explique pourquoi l'équation $y' = ay$ modélise une évolution à taux constant.
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7
Résous l'équation différentielle $y' = y$ avec la condition $y(0) = 1$ .
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8
Détermine le réel $a$ pour que la fonction $f(x) = e^{-4x}$ soit solution de l'équation $y' = ay$ .
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9
Donne la demi-vie associée à l'équation $y' = -ky$ , avec $k$ strictement positif.
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10
Résous l'équation différentielle $y' = 0{,}1y$ avec la condition $y(0) = 1000$ .
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