Les équations différentielles

🟢 Facile

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1
Donne la forme des solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ .
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Ce sont les fonctions $f(x) = C\,e^{ax}$ , où $C$ est une constante réelle quelconque.
Il y en a donc une infinité, une par valeur de $C$ .
On vérifie immédiatement : la dérivée de $C\,e^{ax}$ vaut $aC\,e^{ax}$ , c'est-à-dire $a$ fois la fonction.
2
Vérifie que la fonction $f(x) = e^{3x}$ est solution de l'équation $y' = 3y$ .
Voir le corrigéoffert
On dérive : $f'(x) = 3e^{3x}$ .
On calcule l'autre membre : $3f(x) = 3e^{3x}$ .
Les deux expressions coïncident : la fonction est bien solution. Vérifier une solution est toujours facile, puisqu'il suffit de dériver.
3
Donne la solution de l'équation $y' = 2y$ qui vaut 5 en 0.
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4
Indique combien de solutions admet l'équation différentielle $y' = ay$ .
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5
Donne la solution constante de l'équation différentielle $y' = 3y$ .
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6
Explique ce qu'est une condition initiale pour une équation différentielle.
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7
Vérifie que la fonction $f(x) = e^{-x}$ est solution de l'équation $y' = -y$ .
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8
Donne la forme des solutions de l'équation différentielle $y' = 0$ .
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9
Indique si la fonction $f(x) = 2e^{5x}$ est solution de l'équation $y' = 5y$ .
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10
Donne le signe du coefficient $a$ dans l'équation $y' = ay$ lorsque la grandeur décroît.
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