Les équations différentielles

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1
Démontre que les solutions de l'équation $y' = ay$ sont exactement les fonctions $C\,e^{ax}$ .
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Les fonctions $C\,e^{ax}$ sont bien solutions, puisque leur dérivée vaut $aC\,e^{ax}$ . Il reste à montrer qu'il n'y en a pas d'autres.
Soit $f$ une solution quelconque, et posons $g(x) = f(x)\,e^{-ax}$ . En dérivant comme un produit : $g'(x) = f'(x)e^{-ax} - a f(x)e^{-ax} = \left(f'(x) - af(x)\right)e^{-ax}$ , qui est nulle puisque $f' = af$ .
La fonction $g$ est donc constante, égale à une certaine valeur $C$ : $f(x)e^{-ax} = C$ , c'est-à-dire $f(x) = C\,e^{ax}$ . L'ensemble des solutions est donc exactement celui annoncé.
2
Résous l'équation différentielle $y' = 4y - 8$ avec la condition $y(1) = 10$ .
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La solution constante vérifie $0 = 4y - 8$ , donc $y = 2$ . Les solutions sont les fonctions $f(x) = C\,e^{4x} + 2$ .
La condition $f(1) = 10$ donne $C\,e^{4} + 2 = 10$ , donc $C = 8e^{-4}$ .
La solution est $f(x) = 8e^{4x-4} + 2$ . La condition initiale n'a aucune obligation d'être donnée en 0 : il suffit d'adapter le calcul de la constante.
3
La désintégration radioactive suit l'équation $N' = -\lambda N$ , avec $\lambda$ strictement positif. Démontre que la demi-vie vaut $\dfrac{\ln(2)}{\lambda}$ .
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4
Une cuve contient 100 litres d'eau salée à 5 grammes par litre. On y injecte 2 litres d'eau pure par minute, et l'on en retire 2 litres de mélange par minute. Écris l'équation différentielle vérifiée par la masse de sel.
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5
Résous l'équation $y' = -0{,}02y$ avec $y(0) = 500$ , puis détermine le temps nécessaire pour que la quantité soit divisée par deux.
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6
Explique pourquoi la solution générale de $y' = ay + b$ est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de $y' = ay$ .
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7
Détermine la fonction $f$ vérifiant $f' = 2f$ et dont la courbe passe par le point de coordonnées $\left(1 ; e^{2}\right)$ .
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8
Un médicament est éliminé selon $C' = -0{,}1C$ et administré en perfusion continue au débit $k$ . Écris l'équation différentielle complète, puis détermine la concentration d'équilibre.
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9
Démontre que si $f$ et $g$ sont deux solutions de $y' = ay + b$ , alors leur différence est solution de $y' = ay$ .
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10
Explique pourquoi une équation différentielle a besoin d'une condition initiale pour déterminer une solution unique.
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