Fonctions linéaires et affines

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1
Démontre que le coefficient directeur d'une fonction affine vaut $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ pour tous $x_1 \neq x_2$ .
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Avec $f(x) = ax + b$ :
$f(x_2) - f(x_1) = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a(x_2 - x_1)$ .
En divisant par $x_2 - x_1$ , non nul, on obtient $a$ .
Le résultat ne dépend donc pas des deux points choisis : c'est ce qui caractérise une droite, et ce qui permet de tester l'alignement.
2
Une population de 1 200 habitants perd 40 habitants par an. Exprime la population après $x$ années, puis dis quand elle atteindra 800.
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$P(x) = 1\,200 - 40x$ .
On résout $1\,200 - 40x = 800$ , donc $40x = 400$ et $x = 10$ .
Elle atteindra 800 habitants au bout de 10 ans.
Le modèle affine suppose une perte constante, ce qui est une simplification.
3
Soit $f(x) = ax + b$ avec $f(1) = 3$ et $f(-2) = 9$ . Trouve $a$ et $b$ .
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4
Deux abonnements : A coûte 25 € par mois, B coûte 10 € d'inscription puis 20 € par mois. Étudie lequel est le plus avantageux.
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5
Soit $f$ affine. Montre que si $f(1) = f(3)$ , alors $f$ est constante.
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6
Trois points $A(1 ; 2)$ , $B(3 ; 6)$ et $C(5 ; 11)$ sont-ils alignés ?
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7
Une fonction affine vérifie $f(x+1) - f(x) = 5$ pour tout $x$ . Que vaut son coefficient directeur ?
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8
Soit $f(x) = 2x + 1$ . Résous $f(x) = g(x)$ où $g(x) = 2x - 3$ , et interprète.
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9
Une droite passe par $(0 ; 0)$ et $(a ; a)$ avec $a \neq 0$ . Quelle est sa fonction ?
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10
Pourquoi une fonction affine est-elle le modèle de base de toute évolution « régulière » ?
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Fonction affine, c'est quoi ?Fonction linéaire, c'est quoi ?Coefficient directeur, c'est quoi ?