Les fonctions trigonométriques

🟠 Difficile

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1
Donne la dérivée de la fonction cosinus, et justifie le signe obtenu.
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La dérivée de la fonction cosinus est $-\sin$ : si $f(x) = \cos(x)$ , alors $f'(x) = -\sin(x)$ .
Le signe négatif est cohérent avec les variations : sur $]0 ; \pi[$ , le sinus est positif, donc la dérivée est négative, et le cosinus est bien décroissant.
De même, sur $]\pi ; 2\pi[$ , le sinus est négatif, la dérivée positive, et le cosinus croissant.
2
Calcule la dérivée de la fonction définie par $f(x) = \sin(3x)$ .
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On dérive une fonction composée : la dérivée de $\sin(u)$ est $u' \cos(u)$ .
Ici $u(x) = 3x$ , donc $u'(x) = 3$ .
Donc $f'(x) = 3\cos(3x)$ .
3
Calcule la dérivée de la fonction définie par $f(x) = \cos(2x + 1)$ .
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4
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de la fonction sinus au point d'abscisse 0.
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5
Donne l'amplitude et la période de la fonction définie par $f(x) = 4\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ .
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6
Résous l'équation $\cos(2x) = 0$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ .
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7
Étudie les variations de la fonction sinus sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ .
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8
Donne la valeur de $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}$ , et explique son lien avec la tangente en 0.
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9
Donne le signe de $\sin(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ .
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10
Explique pourquoi l'étude de la fonction cosinus sur $[0 ; \pi]$ suffit à la connaître sur $\mathbb{R}$ .
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