Les fonctions trigonométriques

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1
Démontre que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, en admettant les limites usuelles en 0.
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On calcule le taux d'accroissement en $a$ : $\dfrac{\sin(a + h) - \sin(a)}{h}$ . La formule d'addition donne $\sin(a + h) = \sin(a)\cos(h) + \cos(a)\sin(h)$ .
Le taux devient $\sin(a) \times \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(a) \times \dfrac{\sin(h)}{h}$ .
Or $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0$ et $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1$ : la limite du taux vaut donc $\cos(a)$ . La dérivée de $\sin$ est bien $\cos$ .
2
Étudie la fonction définie par $f(x) = \sin(x) - x$ sur $[0 ; +\infty[$ , et déduis-en que $\sin(x) \le x$ sur cet intervalle.
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La dérivée vaut $f'(x) = \cos(x) - 1$ . Or le cosinus est toujours inférieur ou égal à 1, donc $f'(x) \le 0$ pour tout $x$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[0 ; +\infty[$ .
De plus $f(0) = \sin(0) - 0 = 0$ .
Une fonction décroissante partant de 0 reste négative ou nulle : $f(x) \le 0$ , c'est-à-dire $\sin(x) \le x$ pour tout $x \ge 0$ . C'est l'inégalité qui justifie l'approximation des petits angles.
3
Résous l'inéquation $\cos(x) \ge \dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ .
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4
Détermine la période de la fonction définie par $f(x) = \cos(x)\sin(x)$ .
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5
La tension du secteur s'écrit $u(t) = 230\sqrt{2}\,\sin(2\pi \times 50\,t)$ , avec $t$ en secondes. Donne son amplitude, sa période et sa fréquence.
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6
Calcule la valeur moyenne de la fonction sinus sur une période, et interprète le résultat.
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7
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$ , et interprète géométriquement le résultat.
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8
Démontre que la fonction cosinus est paire, et déduis-en une propriété de sa courbe.
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9
Résous l'équation $2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ .
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10
La hauteur d'eau dans un port est modélisée par $h(t) = 5 + 3\cos\left(\dfrac{2\pi t}{12{,}4}\right)$ , avec $h$ en mètres et $t$ en heures. Donne la hauteur maximale, la hauteur minimale et la durée séparant deux marées hautes.
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