Géométrie repérée et droites

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1
Démontre que le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut la différence des ordonnées divisée par celle des abscisses.
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Supposons la droite non verticale, d'équation $y = mx + p$ . Les points $A$ et $B$ lui appartiennent, donc $y_A = mx_A + p$ et $y_B = mx_B + p$ .
En soustrayant membre à membre, le terme $p$ disparaît : $y_B - y_A = m(x_B - x_A)$ .
Comme la droite n'est pas verticale, $x_B - x_A$ n'est pas nul, et l'on peut diviser : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
2
Détermine l'équation réduite de la médiatrice de $[AB]$ avec $A(1 ; 2)$ et $B(5 ; 6)$ .
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Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1 + 5}{2} ; \dfrac{2 + 6}{2}\right) = (3 ; 4)$ .
Le coefficient directeur de $(AB)$ vaut $\dfrac{6 - 2}{5 - 1} = 1$ ; la médiatrice lui étant perpendiculaire, son coefficient directeur vaut $-1$ , puisque le produit de deux coefficients directeurs de droites perpendiculaires vaut $-1$ .
L'équation est donc $y = -x + p$ , et le passage par $(3 ; 4)$ donne $4 = -3 + p$ , soit $p = 7$ : la médiatrice a pour équation $y = -x + 7$ .
3
Détermine les coordonnées du point de concours des médianes du triangle $A(0 ; 0)$ , $B(6 ; 0)$ et $C(0 ; 6)$ .
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4
Démontre que les droites d'équations $ax + by + c = 0$ et $a'x + b'y + c' = 0$ sont parallèles si et seulement si $ab' - a'b = 0$ .
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5
Dans le triangle $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 0)$ et $C(0 ; 3)$ , détermine l'équation de la hauteur issue de $A$ .
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6
Détermine l'équation du cercle de centre $\Omega(2 ; 3)$ et de rayon 5.
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7
Les droites d'équations $y = 2x + p$ et $y = -x + 15$ se coupent en un point d'abscisse 4. Détermine $p$ .
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8
Explique pourquoi la forme $ax + by + c = 0$ décrit toutes les droites du plan, y compris les verticales.
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9
Calcule l'aire du triangle délimité par la droite d'équation $y = -2x + 6$ et les deux axes du repère.
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10
Démontre, en coordonnées, que les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
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