L'intégrale et l'aire

🟠 Difficile

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Primitives et intégrales ».

1
Calcule $\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x$ .
Voir le corrigéoffert
On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^{2}+1$ , strictement positif : une primitive est $\ln\left(x^{2}+1\right)$ .
L'intégrale vaut $\ln(2) - \ln(1)$ .
Elle vaut $\ln(2) \approx 0{,}693$ .
2
Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et $g(x) = x^{2}$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$ .
Voir le corrigéoffert
Sur $[0 ; 1]$ , on a $x^{2} \leqslant x$ : la courbe de $g$ est donc en dessous de celle de $f$ .
L'aire entre deux courbes vaut l'intégrale de la différence, en soustrayant celle du bas à celle du haut : $\int_{0}^{1}\left(x - x^{2}\right)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$ .
L'aire vaut $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ unité d'aire.
3
Calcule $\int_{1}^{e} \ln(x)\,\mathrm{d}x$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Démontre que $\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ lorsque la fonction $f$ est impaire.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Détermine d'abord une primitive de $x\,e^{x}$ , puis calcule $\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,\mathrm{d}x$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Détermine le réel $a$ strictement positif tel que $\int_{0}^{a} x\,\mathrm{d}x = 8$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Explique pourquoi le résultat d'une intégrale s'exprime d'abord en unités d'aire, et non directement en centimètres carrés.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
En utilisant la parité de la fonction, calcule $\int_{-2}^{2} x^{2}\,\mathrm{d}x$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Calcule $\int_{0}^{1} (1-x)^{3}\,\mathrm{d}x$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Démontre que si $f$ est positive sur $[a ; b]$ avec $a$ inférieur à $b$ , alors $\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ est positive.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

← Changer de niveau

Un mot qui coince ?

Intégrale, c'est quoi ?