L'intégrale et l'aire

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Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Primitives et intégrales ».

1
Calcule $\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .
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Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur cet intervalle est $\ln(x)$ .
L'intégrale vaut $\ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0$ .
Elle vaut $\ln(2) \approx 0{,}693$ .
2
Calcule $\int_{0}^{\pi} \sin(x)\,\mathrm{d}x$ .
Voir le corrigéoffert
Une primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$ .
L'intégrale vaut $-\cos(\pi) - \left(-\cos(0)\right) = -(-1) + 1$ .
Elle vaut 2. C'est l'aire de l'arche de sinusoïde, un résultat remarquablement simple.
3
Donne la relation de Chasles pour les intégrales.
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4
Calcule $\int_{0}^{1} \left(3x^{2} + 2x\right)\,\mathrm{d}x$ .
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5
Calcule l'aire du domaine situé sous la courbe de $f(x) = x$ entre 0 et 4.
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6
Donne la propriété de linéarité de l'intégrale.
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7
Calcule $\int_{-1}^{1} x^{3}\,\mathrm{d}x$ .
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8
Explique pourquoi une intégrale peut prendre une valeur négative.
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9
Calcule $\int_{0}^{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x$ .
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10
Explique comment calculer l'aire entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses lorsque $f$ est négative sur l'intervalle.
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