L'intégrale et l'aire

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1
Calcule l'aire du domaine délimité par la parabole d'équation $y = x^{2}$ et la droite d'équation $y = x + 2$ .
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On cherche d'abord les points d'intersection : $x^{2} = x + 2$ , soit $x^{2} - x - 2 = 0$ . Le discriminant vaut 9, et les racines sont $-1$ et 2.
Entre ces deux valeurs, la droite est au-dessus de la parabole, donc l'aire vaut $\int_{-1}^{2}\left(x + 2 - x^{2}\right)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^{2}}{2} + 2x - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$ .
En haut : $2 + 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}$ . En bas : $\dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{6}$ . L'aire vaut $\dfrac{10}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{27}{6} = 4{,}5$ unités d'aire.
2
Ajuste le facteur manquant, puis calcule $\int_{0}^{1} \dfrac{x}{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x$ .
Voir le corrigéoffert
On reconnaît presque la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^{2}+1$ : il manque le facteur 2 au numérateur.
Une primitive est donc $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)$ .
L'intégrale vaut $\dfrac{1}{2}\ln(2) - \dfrac{1}{2}\ln(1) = \dfrac{\ln(2)}{2} \approx 0{,}347$ .
3
Démontre la relation de Chasles à partir du théorème fondamental.
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4
Calcule $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)\,\mathrm{d}x$ .
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5
Un mobile a pour vitesse $v(t) = 2t + 1$ , en mètres par seconde. Calcule la distance parcourue entre les instants 0 et 5 secondes.
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6
Démontre que $\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ .
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7
Calcule $\int_{1}^{2} \dfrac{\ln(x)}{x}\,\mathrm{d}x$ .
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8
Détermine l'aire du domaine compris entre la courbe de $f(x) = x^{2} - 4$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-2 ; 2]$ .
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9
Explique le principe de la méthode des rectangles pour obtenir une valeur approchée d'une intégrale.
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10
On pose $F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ , où $f$ est continue. Explique pourquoi $F$ est une primitive de $f$ .
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