Les limites de fonctions

🟠 Difficile

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1
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ quand $x$ tend vers 2.
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Numérateur et dénominateur tendent vers 0 : c'est une forme indéterminée.
On factorise le numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ , puis on simplifie par $x - 2$ , non nul tant que $x$ reste différent de 2. Il reste $f(x) = x + 2$ .
La limite vaut donc 4. La courbe est une droite privée d'un point : il n'y a pas d'asymptote verticale en 2, malgré l'annulation du dénominateur.
2
Détermine la limite de $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .
Voir le corrigéoffert
C'est une forme indéterminée du type infini moins infini.
On multiplie et divise par la quantité conjuguée : $f(x) = \dfrac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$ .
Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc la limite vaut 0. La courbe se rapproche de la droite $y = x$ , qui est une asymptote oblique.
3
Détermine les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ .
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4
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{x^2 + 3x}{2x^2 - 1}$ quand $x$ tend vers $-\infty$ .
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5
Explique la différence entre une limite quand $x$ tend vers $+\infty$ et une limite quand $x$ tend vers un nombre.
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6
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .
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7
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 - 1}$ quand $x$ tend vers 1.
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8
Détermine la limite de $f(x) = 2x^3 - x^2$ quand $x$ tend vers $-\infty$ .
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9
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{-3}{(x - 1)^2}$ quand $x$ tend vers 1.
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10
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x + 1}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .
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